Алгоритмы в начальной школе и методика обучения алгоритмам

4) найди значение неизвестного;

5) сделай проверку;

6) запиши ответ.

Другой не справляется с заданием или получает неверный ответ, так как не владеет хотя бы одним из действий, которые требуются для выполнения данного задания.

Как видно из примера под словом «действие» понимаются не только математические операции, но оно имеет и более широкий смысл.

Кроме того, в алгоритме н

едопустимы также ситуации, когда после выполнения очередного действия исполнителю неясно, какое из них должно выполняться на следующем этапе.

Все сказанное характеризует свойство алгоритма, называемое свойством элементарных шагов.

3. Определенность. Каждая программа, задающая алгоритм, должна состоять из конечного числа шагов, а каждый шаг должен быть точно и однозначно определен. Это свойство алгоритмов называется свойством определенности (или детерминированности).

4. Результативности. Программа, задающая алгоритм должна быть направлена на получение определенного результата. Получение результата за конечное число шагов составляет свойство результативности алгоритма. Эта черта выражается в том, что алгоритм всегда направлен на получение некоторого искомого результата. Эта черта алгоритма, однако, не предполагает, что алгоритмы приводят к получению нужного результата при всех исходных данных, принадлежащих к определенному классу, возможно, что к некоторым исходным данным алгоритм оказывается неприменимым, и тогда процесс выполнения алгоритма либо безрезультативно обрывается, либо никогда не заканчивается.

5. Массовость. Программа, задающая алгоритм, должна быть применима к любой задаче рассматриваемого типа. Другими словами, каждый алгоритм предназначен для решения не одной-единственной, а любой из некоторого бесконечного класса однотипных задач.

Например, алгоритм решения линейного уравнения первой степени применяется для решения всех уравнений вида ах + b=0. В этом состоит свойство массовости алгоритмов.

Одним из источников алгоритмов является практика, которая предоставляет нам две основные возможности: наблюдение и эксперимент (а также любые их комбинации).

Объектом наблюдения может быть какое-либо живое существо (в частности, человек), умеющее решать какую-либо из возникающих перед ним задач. Описывая его действия, анализируя их зависимость от изменяющихся условий, можно получить алгоритм для решения упомянутой задачи. Получаемые этим путем алгоритмы обычно называют имитирующими. В более сложном случае объектом наблюдения может быть коллектив совместно действующих живых существ.

В еще более сложных случаях наблюдают какой-либо процесс, протекающий в неживой природе, организме или в обществе, изучают влияние на него различных факторов; в конце концов, может быть получен алгоритм управления этим процессом (который будет эффективным, если существует реальная возможность изменять определяющие процесс факторы). Алгоритмы, полученные таким образом, принято называть эмпирическими.

Алгоритмы иногда можно получить экспериментально, подбирая действия, приводящие к желаемому результату. Их не выделяют в отдельную группу и условно относят к эмпирическим.

В качестве второго источника следует указать научную теорию, из основных положений и установленных фактов которой алгоритмы в некоторых случаях могут быть выведены.

Третьим источником новых алгоритмов может являться совокупность уже накопленных. Когда с помощью специальных приемов из имеющихся алгоритмов можно получать новые.

Наконец, четвертым источником алгоритмов может быть изобретательность их разработчика. Алгоритмы кодирования и декодирования по заданному ключу происходят из этого источника.

Как бы ни был получен алгоритм, он должен быть обоснован; это означает, что если алгоритм создан для решения определенной задачи, то необходима уверенность в том, что для всех исходных данных, для которых эта задача может быть решена, алгоритм позволяет получить решение и ни для каких исходных данных не дает неправильного результата. Это называется корректностью алгоритма.

Корректность эмпирических алгоритмов обычно проверяют экспериментально. Какую-то уверенность в их корректности можно получить, если их многократное применение всегда приводит к необходимому результату. Однако одно только многократное экспериментальное подтверждение еще не вселяет полной уверенности.

Полная уверенность в корректности эмпирического алгоритма возникает лишь в том случае, когда полученныеc его помощью результаты не только подтверждаются экспериментально, но и согласуются со всеми другими накопленными и объединенными в научную теорию фактами данной области науки или техники.

Если хотя бы один из даваемых алгоритмом результатов противоречит хотя бы одному из ранее установленных и получивших признание фактов, эмпирический алгоритм нельзя признать корректным (хотя после проверки может оказаться некорректным не алгоритм, а тот факт, которому он противоречит). Корректность теоретически обусловленных алгоритмов гарантируется наличием соответствующих доказательств.

Очень интересен вопрос об установлении корректности алгоритмов, полученных на основе других, ранее разработанных и заведомо корректных алгоритмов. Решение этого вопроса зависит от приема, который был применен для получения нового алгоритма.

Перечислим наиболее часто применяемые приемы.

1) Конструирование алгоритмов. Этот прием заключается в том, что новый алгоритм получают комбинированием уже известных алгоритмов как составных частей.

2) Эквивалентные преобразования алгоритмов. Два алгоритма называют эквивалентными, если: а) всякий вариант исходного данного, допустимый для одного из них, допустим и для другого; б) применимость одного алгоритма к какому-либо исходному данному гарантирует, что и другой алгоритм применим к этому исходному данному; в) результаты, даваемые этими алгоритмами для одного и того же исходного данного, между собой одинаковы.

Всякое изменение алгоритма, в результате которого снова получается алгоритм и при этом эквивалентный исходному алгоритму, называется эквивалентным преобразованием алгоритма. Примером эквивалентного преобразования алгоритма является его перевод с одного языка на другой.

3) Сужающие преобразования. Они приводят к алгоритмам решения задач, являющихся частными случаями тех задач, для решения которых были предназначены исходные алгоритмы.

4) Применение формального метода к нематематической проблеме. Этот прием заключается в том, что нематематическую проблему формулируют математически. При этом может оказаться, что известен алгоритм решения получившейся математической задачи. Этот алгоритм и принимается за искомый. Если готового алгоритма не окажется, то делают попытку его разработки, тем самым обращаясь ко второму из указанных выше источников для получения алгоритмов.

Корректность алгоритмов, полученных путем конструирования, не вызывает сомнений, если алгоритмы, использованные в качестве «строительного материала», дают точные результаты. Если же их результаты являются приближенными, как это часто бывает на практике, то обоснование корректности может требовать сложных исследований.