Алгоритмы в начальной школе и методика обучения алгоритмам

Доказательством корректности алгоритмов, полученных с помощью эквивалентных преобразований, является правильность преобразований

Корректность алгоритмов, полученных путем сужающих преобразований, обеспечивается проверкой (доказательством) того, что каждый результат, получаемый суженным алгоритмом, тождествен с результатом, который для того же варианта исходного данного дает исходный алгорит

м.

Наконец, корректность алгоритма, полученного в результате применения формального метода, выясняется либо так же, как для эмпирических алгоритмов, либо а) оценкой, так называемой адекватности полученной математической задачи (т. е. возможности получения при ее решении результата, достаточно близкого к искомому результату) и б) доказательством корректности алгоритма решения математической задачи [Криницкий, 1984].

Алгоритмы, полученные в результате изобретательности разработчика, также требуют обоснования. Обычно с ними поступают либо как с эмпирическими, либо (уже после их получения) проделывают все действия, предусматриваемые формальным методом.

Алгоритмы в начальной школе на уроках математики

Обучение элементам алгоритмизации в начальных классах очень важно с пропедевтической точки зрения. Описание какого-либо процесса по шагам, этапам доступно младшим школьникам. Составление алгоритма позволяет детям не только научиться решать примеры, но и контролировать свои действия. Дети, участвуя в составлении алгоритма, настолько увлекаются процессом пошаговых действий, что при его использовании ошибочных ответов почти не допускают.

Наиболее часто используемые алгоритмы на уроках математике в начальных классах это алгоритмы сложения, вычитания, умножения и деления натуральных чисел. Остановимся подробно на каждом из них.

Алгоритм сложения. Сложение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия, но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все суммы, которые получаются при сложении однозначных чисел, записывают в особую таблицу, называемую таблицей сложения однозначных чисел, и запоминают.

Естественно, смысл сложения сохраняется и для многозначных чисел, но практическое выполнение сложения происходит по особым правилам. Сумму многозначных чисел обычно находят, выполняя сложение столбиком. Например:

+ 341

7238

7579

Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теоретические положения лежат в его основе.

Представим слагаемые 341 и 7 238 в виде суммы степеней десяти с коэффициентами:

341 + 7 238 = (3 •102 + 4 • 10 + 1) + (7 • 103 + 2 • 102 + 3 • 10 + 8).

Раскроем скобки в полученном выражении, поменяем местами и сгруппируем слагаемые так, чтобы единицы оказались рядом с единицами, десятки — с десятками и т.д. Все преобразования можно выполнить на основании соответствующих свойств сложения. Свойство ассоциативности разрешает записать выражение без скобок:

3 • 102 + 4 • 10 + 1 + 7 • 103 + 2 • 102 + 3 • 10 + 8.

На основании свойства коммутативности поменяем местами слагаемые: 7 • • 103 + 3 • 102 + 2 • 102 + 4 • 10 + 3 • 10 + 1 + 8. Согласно свойству ассоциативности, произведем группировку: 7 • 103 + (3 • 102 + 2- 102) + (4• 10+ + 3 • 10) + (1+ 8). Вынесем за скобки в первой выделенной группе число 102, во второй — 10. Это можно сделать в соответствии со свойством дистрибутивности умножения относительно сложения:

7 • 103 + (3 + 2) • 102 + (4 + 3) • 10 + (1 + 8).

Итак, сложение данных чисел 341 и 7 238 свелось к сложению однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов. Эти суммы находим по таблице сложения: 7 • 103 + 5 • 102 + + 7-10 + 9. Полученное выражение есть десятичная запись числа 7 579.

Видим, что в основе алгоритма сложения многозначных чисел лежат следующие теоретические факты:

способ записи чисел в десятичной системе счисления;

свойства коммутативности и ассоциативности сложения;

дистрибутивность умножения относительно сложения;

таблица сложения однозначных чисел.

Нетрудно убедиться в том, что в случае сложения чисел «с переходом через десяток» теоретические основы алгоритма сложения будут теми же. Рассмотрим, например, сумму 748 + 436.

Представим слагаемые в виде суммы степеней десяти с соответствующими коэффициентами: (7 • 102 + 4 • 10 + 8) + (4 • 102 + 3 • 10 + 6). Воспользуемся свойствами сложения и дистрибутивностью умножения относительно сложения и преобразуем полученное выражение к такому виду:

(7 + 4) • 102 + (4 + 3) • 10 + (8 + 6). Видим, что в этом случае сложение данных чисел также свелось к сложению однозначных чисел, но суммы 7 + 4,

8 + 6 превышают 10 и поэтому последнее выражение не является десятичной записью числа. Необходимо сделать так, чтобы коэффициенты перед степенями 10 оказались меньше 10. Для этого выполним ряд преобразований. Сначала сумму 8 + 6 представим в виде 1•10 + 4:

(7 + 4) • 102 + (4 + 3) • 10 + (1 • 10 + 4).

Затем воспользуемся свойствами сложения и умножения и приведем полученное выражение к виду: (7 + 4) • 102 + (4 + 3 + 1) • 10 + 4.

Суть последнего преобразования такова: десяток, который получился при сложении единиц, прибавим к десяткам данных чисел. И наконец, записав сумму 7 + 4 в виде 1•10+1, получаем: (1 • 10 + 1) • 102 + 8 • 10 + 4. Последнее выражение есть десятичная запись числа 1 184. Следовательно, 748 + 436 = 1 184.

Выведем алгоритм сложения многозначных чисел в общем виде. Пусть даны числа: х = аn • 10n + аn-1 • 10 n-1+ . + а0 и у = bn •10 n + bn-1 • 10 n-1+ . + b0, т.е. рассмотрим случай, когда количество цифр в записи чисел х и у одинаково. Найдем сумму х + у = (а n •10 n + аn-1 • 10 n-1+ . + а0) + (bn •10 n + bn-1 •

•10 n-1+ . + b0) = (аn + bn ) • 10 n + (аn-1 + bn-1) • 10 n-1 + . + (а0 + b0) -преобразования выполнены на основе свойств ассоциативности и коммутативности сложения, а также дистрибутивности умножения относительно сложения. Сумму (аn + bn ) • 10 n + (аn-1 + bn-1) • 10 n-1 + . + (а0 + b0)), вообще говоря, нельзя рассматривать как десятичную запись числа х + у, так как коэффициенты перед степенями 10 могут быть больше 9. Лишь в случае, когда все суммы ак + bк не превосходят 9, операцию сложения можно считать законченной. В противном случае выбираем наименьшее к, для которого ак + bк> 10. Если ак+ bк> 10, то из того, что 0 < ак < 9 и 0 < bк < 9, следует неравенство 0 < ак + bк < 18 и поэтому ак + bк можно представить в виде ак + bк = = 10 + ск, где 0 < ск < 9. Но тогда (ак + bк) • 10 n = (10 + ск) • 10 n = = 10 k+1 + cк 10 k. В силу свойств сложения и умножения в (аn + bn) • 10 n + . + (а0 + b0) слагаемые (ак+1 + bк+1) • 10 k+1 + (ак + bк) • 10 k могут быть заменены на (ак+1 + bк+1 + 1) • 10 k+1 + ск- 10 k. После этого рассматриваем коэффициенты аn + bn, аn-1 + bn-1, …, ак+2 + bк+1, аk+1 + bк+1 + 1, выбираем наименьшее s, при котором коэффициент больше 9, и повторяем описанную процедуру. Через п шагов придем к выражению вида: х + у = (с n + 10) • 10 n + . + с0, где

с n ≠ 0, или х + у = 10 n+1 + сn • 10 n + . + с0, и где для всех п выполняется равенство 0 < сn < 10. Тем самым получена десятичная запись числа х + у.