Алгоритмы в начальной школе и методика обучения алгоритмам

если же цифра единиц вычитаемого больше единиц уменьшаемого, т.е. b0 > а0, а цифра десятков уменьшаемого отлична от нуля, то уменьшают цифру десятков уменьшаемого на 1, одновременно увеличив цифру единиц уменьшаемого на 10, после чего вычитают из числа 10 + а0 число b0 и записывают разность в разряде единиц искомого числа, далее переходят к следующему разряду;

если цифра единиц вычитаемо

го больше цифры единиц уменьшаемого, стоящие в разряде десятков, сотен и т.д. уменьшаемого, равны нулю, то берут первую отличную от нуля цифру в уменьшаемом (после разряда единиц), уменьшают ее на 1, все цифры в младших разрядах до разряда десятков включительно увеличивают на 9, а цифру в разряде единиц на 10: вычитают b0 из 10+ + а0, записывают разность в разряде единиц искомого числа и переходят к следующему разряду;

в следующем разряде повторяют описанный процесс;

вычитание заканчивается, когда производится вычитание из старшего разряда уменьшаемого.

Алгоритм умножения. Умножение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия. Но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все произведения однозначных чисел записывают в особую таблицу, называемую таблицей умножения однозначных чисел, и запоминают.

Естественно, что смысл умножения сохраняется и для многозначных чисел, но меняется техника вычислений. Произведение многозначных чисел, как правило, находят, выполняя умножение столбиком, по определенному алгоритму. Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теоретические факты лежат в его основе.

Умножим, например, столбиком 428 на 263.

428

х263

1284

+2568

856

112564

Видим, что для получения ответа нам пришлось умножить 428 на 3, 6 и 2, т.е. умножить многозначное число на однозначное; но, умножив на 6, результат записали по-особому, поместив единицы числа 2 568 под десятками числа 1 284, так как умножали на 60 и получили число 25 680, но нуль в конце записи опустили. Слагаемое 856 — это результат умножения на 2 сотни, т.е. число 85 600. Кроме того, нам пришлось найти сумму многозначных чисел.

Итак, чтобы выполнять умножение многозначного числа на многозначное, необходимо уметь:

умножать многозначное число на однозначное и на степень десяти;

складывать многозначные числа.

Сначала рассмотрим умножение многозначного числа на однозначное. Умножим, например, 428 на 3. Согласно правилу записи чисел в десятичной системе счисления, 428 можно представить в виде 4 • 102 + 2 • 10 + 8 и тогда 428 •

• 3 = (4 • 102 + 2 • 10 + 8) • 3. На основании дистрибутивности умножения относительно сложения получим: (4•3)• 102 + (2 • 3) • 10 + 8•3, а на основании свойства ассоциативности умножения: (4 • 102) • 3 + (2 • 10) • 3 + 8 • 3. Произведения в скобках могут быть найдены по таблице умножения однозначных чисел: 12 • 102 + 6 • 10 + 24. Видим, что умножение многозначного числа на однозначное свелось к умножению однозначных чисел. Но чтобы получить окончательный результат, надо преобразовать выражение 12 • 102 + 6 • 10 + 24 — коэффициенты перед степенями 10 должны быть меньше 10. Для этого представим число 12 в виде 1 • 10 + 2, а число 24 в виде 2 • 10 + 4. Затем в выражении (1 • 10 + + 2) • 102 + 6 • 10 + (2 • 10 + 4) раскроем скобки: 1 • 103 + 2 • 102 + 6 •10 +

+ 2 •10 + 4. На основании ассоциативности сложения и дистрибутивности умножения относительно сложения сгруппируем слагаемые 6 • 10 и 2 • 10 и вынесем 10 за скобки: 1 • 103 + 2 • 102 + (6+ 2)- - 10 + 4. Сумма 6 + 2 есть сумма однозначных чисел, и может быть найдена по таблице сложения: 1 • 103 + 2 •

• 102 + 8 • 10 + 4. Полученное выражение есть десятичная запись числа 1 284, т.е. 428 • 3 = 1 284.

Таким образом, умножение многозначного числа на однозначное основывается на:

записи чисел в десятичной системе счисления;

свойствах сложения и умножения;

таблицах сложения и умножения однозначных чисел.

Выведем правило умножения многозначного числа на однозначное в общем виде. Пусть требуется умножить х = ап • 10 n + ап-1 • 10n-1 + . + а0 на однозначное число у: х • у = (ап • 10 n + аn-1 • 10 n-1 + . + а0) • у = (ап • у) • • 10 n + + (a n-1 • у) • 10 n-1 + . + а0 • у, причем преобразования выполнены на основании свойств умножения. После этого, используя таблицу умножения, заменяем все произведения ак • у, где 0 < к < п, соответствующими значениями ак • у = bк • • 10 + с и получаем: х • у = (bп • 10 + сп) • 10 n + (b n-1 10 + + c n-1) • 10 n-1 + . + (b1 • 10 + с1) • 10 + (b0 • 10 + с0) = bn • 10 n+1 + (сn + b n-1)• • 10 n + . + (с1 + b0) • 10+ с0. По таблице сложения заменяем суммы ск + bк-1, где 0< к <пик = 0, 1, 2,…, n, и, их значениями. Если, например, с0 однозначно, то последняя цифра произведения равна с0. Если же с0 =10 + т0, то последняя цифра равна т0, а к скобке (с1 + b0) надо прибавить 1. Продолжая этот процесс, получим десятичную запись числа х • у.

Сформулируем в общем виде алгоритм умножения многозначного числа

х = апап-1 .а1а0 на однозначное число у:

записывают второе число под первым;

умножают цифры разряда единиц числа х на число у. Если произведение меньше 10, то записывают его в разряд единиц ответа и переходят к следующему разряду (десятков);

если произведение цифр единиц числа х на число у больше или равно 10, то представляют его в виде 10q-1 + с0, где с0 — однозначное число; записывают с0 в разряд единиц ответа и запоминают q1, — перенос в следующий разряд;

умножают цифры разряда десятков на число у, прибавляют к полученному произведению число q1 и повторяют процесс, описанный в пп. 2 и 3;

процесс умножения заканчивается, когда окажется умноженной цифра старшего разряда.

Как известно, умножение числа х на число вида 10k сводится к приписыванию к десятичной записи данного числа к нулей. Покажем это. Умножим число х = аn • 10n + an-1 • 10 n-1 + . + а0 на 10 k, т.е. (а n • 10 n + a n-1 • 10n-1 + . + a0) • 10k = = аn • 10n+k + a • 10n+k-1 + . + а0 • 10k. Полученное выражение является суммой разрядных слагаемых числа а n а n -1 .a1 a 0, так как равно а n • 10 k+n + а n -1 •10n+k-1 + + . + а0 • 10 k + 0 • 10 k-1 + 0 • 10k -2 + . + 0 • • 10 + 0. Например, 347 • 103 = (3 •

• 102 + 4 • 10 + 7) • 103 = 3 • 105 + 4 • 104 + 7 • 103 = 3 • 105 + 4 • 104 + 7 • 103 + 0 • • 102 + 0 • 10 + 0 = 347 000.

Заметим еще, что умножение на число у 10 k, где у — однозначное число, сводится к умножению на однозначное число у и на число 10 k. Например, 52 • • 300 = 52 • (3 • 102) = (52 • 3) • 102 = 156 • 102 = 15 600.

Рассмотрим теперь алгоритм умножения многозначного числа на многозначное. Обратимся сначала к примеру, с которого начинали, т.е. к произведению 428-263. Представим число 263 в виде суммы 2 • 102 + 6 • 10 + 3 и запишем произведение 428 • (2 • 102 + 6 • 10 + 3). Оно, согласно дистрибутивности умножения относительно сложения, равно 428 • (2 • 102) + 428 • (6 • 10) + 428 • 3. Отсюда, применив ассоциативное свойство умножения, получим: (428 • 2) •

• 102 + (428 • 6) • 10 + 428 • 3. Видим, что умножение многозначного числа 428 на многозначное число 263 свелось к умножению многозначного числа 428 на однозначные числа 2, 6 и 3, а также на степени 10.