Алгоритмы в начальной школе и методика обучения алгоритмам

Рассмотрим умножение многозначного числа на многозначное в общем виде. Пусть хиу — многозначные числа, причем у = bт • 10т + bт-1 • 10m-1 + . + + b0. В силу дистрибутивности умножения относительно сложения, а также ассоциативности умножения можно записать: х•у = х • (bт • 10m + + bm-1 •

• 10m-1 + . + b0) = (х • bт) • 10т + (х • bт-1) • 10m-1 + . + х • Ь0. Последовательно умножая число х на

однозначные числа bт, bm-1, …, b0, а затем на 10 m, 10m-1, 1, получаем слагаемые, сумма которых равна х • у.

Приходим к алгоритму умножения числа х = апап-1 . а1а0 на число

у = bт bт-1… b1 b0:

записывают множитель х и под ним второй множитель у;

умножают число х на младший разряд b0 числа у и записывают произведение х • b0 под числом у;

умножают число х на следующий разряд b1 числа у и записывают произведение х • b1, но со сдвигом на один разряд влево, что соответствует умножению х • b1, на 10;

продолжают вычисление произведений до вычисления х • bк;

полученные к + 1 произведения складывают.

Изучение алгоритма умножения многозначных чисел в начальном курсе математики, как правило, проходит в соответствии с выделенными этапами. Различия имеются только в записи. Например, при обосновании случая умножения многозначного числа на однозначное пишут: 428• 3 = (400 + 20 + + 8)• 3 = 400 •

• 3 + 20 • 3 + 8 • 3 = 1 200 + 60 + 24 = 1 284. Основой выполненных преобразований являются:

представление первого множителя в виде суммы разрядных слагаемых (т.е. запись числа в десятичной системе счисления);

правило умножения суммы на число (или дистрибутивность умножения относительно сложения);

умножение «круглых» (т.е. оканчивающихся нулями) чисел на однозначное число — оно сводится к умножению однозначных чисел.

Алгоритм деления. Когда речь идет о технике деления чисел, то этот процесс рассматривают как действие деления с остатком: разделить целое неотрицательное число а на натуральное число b — значит найти такие целые неотрицательные числа q и r, что а = bq + r, причем 0 < r < b.

Выясним сначала, как осуществляется деление на однозначное число. Если на однозначное число делят однозначное или двузначное (не превышающее 89), то используется таблица умножения однозначных чисел. Например, частным чисел 54 и 9 будет число 6, так как 9 6 = 54. Если же надо разделить 51 на 9, то находят ближайшее к нему меньшее число, которое делится на 9 — это число 45, и, следовательно, неполным частным при делении 51 на 9 будет число 5. Чтобы найти остаток, надо из 51 вычесть 45, т.е. 51 - 45 = 6. Таким образом, 51 = 9 • 5 + + 6, т.е. при делении 51 на 9 получается неполное частное 5 и остаток, равный 6. Записать это можно иначе, с помощью деления уголком:

_51|_9

45 5

6

Будем теперь делить трехзначное число на однозначное, например, 378 на 4. Разделить 378 на 4 — значит найти такое неполное частное q и остаток г, что 378 = 4q + r, причем остаток r должен удовлетворять условию 0 < r< b, а неполное частное q — условию 4q < 378 < 4(q + 1).

Определим, сколько цифр будет содержаться в записи числа q. Однозначным число q быть не может, так как тогда произведение 4q может быть максимально равно 36 и, значит, не будут выполняться условия, сформулированные выше для r и q. Если число q двузначное, т.е. если 10 < q < 100, то 40 < 4q < 400 и, следовательно, 40 < 378 < 400, что верно. Значит, частное чисел 378 и 4 — число двузначное.

Чтобы найти цифру десятков частного, умножим последовательно делитель 4 на 20, 30, 40 и т.д. Поскольку 4 • 90 = 360, а 4 • 100 = 400, и 360 < 378 < < 400, то неполное частное заключено между числами 90 и 100, т.е. q = 90 + q0. Но тогда должны выполняться неравенства: 4•(90 + q0) < < 378 < 4• • (90q + q0 + + 1), откуда 360+ 4q0 < 378 < 360 + 4(q0 + 1) и 4q0 < 18 < < 4(q0 + 1). Число

q0 (цифра единиц частного), удовлетворяющее последнему неравенству, можно найти подбором, воспользовавшись таблицей умножения. Получаем, что q0 = 4 и, следовательно, неполное частное q = 90 + 4 = 94. Остаток находится вычитанием: 378 - 4 • 94 = 2.

Итак, при делении числа 378 на 4 получается неполное частное 94 и остаток 2, т.е. 378 -4 • 94 + 2.

Описанный процесс является основой деления уголком:

_378|_4

36 94

_18

16

2

Аналогично выполняется деление многозначного числа на многозначное. Разделим, например, 4 316 на 52. Выполнить это деление — значит найти такие целые неотрицательные числа q и r, что 4 316 = 52q + г, 0 < r < 52, а неполное частное должно удовлетворять неравенству 52q < 4 316 < < 52(q + 1).

Определим число цифр в частном q. Очевидно, частное заключено между числами 10 и 100 (т.е. q — двузначное число), так как 520 < 4 316 < 5 200. Чтобы найти цифру десятков частного, умножим последовательно делитель 52 на 20, 30, 40, 50 и т.д. Поскольку 52 • 80 = 4 160, а 52 • 90 = 4 680 и 4 160 < 4 316 <

< 4 680, то неполное частное заключено между числами 80 и 90, т.е. q = 80 + q0. Но тогда должны выполняться неравенства:

52 • (80 + q0) < 4 316 < 52 • (80 + q0 + 1);

4 160 + 52 q0 < 4 316 < 4 160 + 52 • (q0+ 1);

52 q0 < 156 < 52 • (q0 + 1).

Числоq0 (цифру единиц частного), удовлетворяющее последнему неравенству, можно найти подбором: 156 = 52 • 3, т.е. имеем случай, когда остаток равен 0. Следовательно, при делении 4 316 на 52 получается частное 83.

Приведенные рассуждения лежат в основе деления уголком:

4316| 52

416 83

156

156

0

Обобщением различных случаев деления целого неотрицательного числа а на натуральное число b является следующий алгоритм деления уголком.

1) Если a = b, то частное q=1, остаток r = 0.

2) Если a>b и число разрядов в числах a и b одинаково, то частное q находим перебором, последовательно умножая b на 1,2,3,4,5,6,7,8,9, так как

a < 10b. Этот перебор можно ускорить, выполнив деление с остатком цифр старших разрядов чисел a и b.

3) Если a>b и число разрядов в числе а больше, чем в числе b, то записываем делимое а и справа от него делитель b, который отделяем от а уголком и ведем поиск частного и остатка в такой последовательности:

а) выделяем в числе а столько старших разрядов, сколько разрядов в числе b или, если необходимо, на один разряд больше, но так, чтобы они образовывали число d1, больше или равное b. Перебором находим частное q1 чисел d1 и b, последовательно умножая b на 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Записываем q1 под уголком (ниже b);

б) умножаем b на q1 и записываем произведение под числом а так, чтобы младший разряд числа bq1 был написан под младшим разрядом выделенного числаd1;

в) проводим черту под bq, и находим разность r1=d1-bq1;

г) записываем разность r1 под числом bq1 , приписываем справа к r1 старший разряд из неиспользованных разрядов делимого а и сравниваем полученное число d2 с числом b.

д) если полученное число d2 больше или равно b , то относительно него поступаем согласно п.1 или п.2. Частное q2 записываем после q1.