Процесс формирования понятия числа в начальной школе

последовательное введение детей в область различных частных видов чисел (в область натуральных, дробных, отрицательных чисел) – формирование у детей понятий об этих числах как проявления общего кратного отношения величин при определенных конкретных условиях;

раскрытие детям однозначности структуры математической операции (если известно значение двух элементов, то по ним можно однозначно опр

еделить значение третьего элемента) – формирование у детей понимания взаимосвязи элементов основных арифметических действий.

Краткая характеристика содержания перечисленных учебных задач.

Первая задача требует от детей выделения посредством определенных предметных действий трех отношений объектов (равно, больше, меньше). Затем эти отношения дети фиксируют с помощью буквенных формул, что позволяет приступить к изучению свойств отношений равенства и неравенства в их “чистом виде”.

Изучая условия перехода от неравенства к равенству и их свойства (например, транзитивность, обратимость), дети в дальнейшем, уже после ознакомления с общей формой числа, выводят свойства числового ряда.

Содержанием второй учебной задачи является овладение детьми общей формой числа посредством определения кратного отношения величин, одна из которых выступает в качестве исходной величины, а другая – в качестве ее меры.

При постановке последующих учебных задач учитель создает такие ситуации, которые требуют от детей использования не одной, а целого ряда последовательно увеличивающихся мер, поскольку различие между мерой и измеряемым объектом становится значительным. При использовании детьми этого ряда мер возникает необходимость установить постоянное отношение размера последующей меры к предыдущей. Запись результатов измерения получает форму позиционного числа, которое в зависимости от значения постоянного отношения мер может быть отнесено к любой системе счисления, в том числе и к десятичной, если это отношение будет десятикратным. Так вводится понятие многозначного числа.

В некоторых ситуациях мера может не уместиться в объекте целое число раз. Тогда приходится прибегать не к укрупнению ее (как это было до сих пор), а к уменьшению. Результат действия измерения, соответствующего таким ситуациям, описывается дробным числом. Дальнейшее изменение и обогащение предметной области, в которой действуют учащиеся (например, ознакомление их с направленными величинами), позволяет им при выполнении действия измерения обозначить его результаты с помощью положительного или отрицательного числа.

Переход детей от изучения общих свойств величины к выведению ее частных видов, имеющих форму числа (натурального, дробного, отрицательного и т.д.) – это главная линия построения всего развивающего обучения математике.

Состав и особенности учебных действий детей при усвоении ими общей формы числа в развивающем обучении

Опишем учебные действия, при выполнении которых дети выявляют условия происхождения самой формы числа и овладевают способом ее построения.

Курс развивающего обучения, разработанный Элькониным Д.Б. и Давыдовым В.В., начинается с введения понятия величины, определенного отношениями “равно”, “больше”, “меньше”. Ориентация на эти общие отношения позволяет ребенку осуществлять разностное сравнение предметно представленных величин. Еще до усвоения понятия числа он может фиксировать результаты этого сравнения с помощью таких буквенных формул, как, а=b, а>b, а<b, и производить многие их преобразования типа, а+с>b, а=b-с, а+с=b+с и т.д., опираясь на соответствующие свойства указанных отношений.

Однако в некоторых ситуациях трудно или невозможно выполнить непосредственное разностное сравнение и сразу обнаружить, например, равенство или неравенство наличных величин (отрезок, грузов и т.д.). Учитель демонстрирует детям подобные ситуации и просит их осуществить поиск подходящего способа решения данной задачи. Учитель ставит перед детьми учебную задачу, требующую от них открытия и усвоения общего способа опосредованного разностного сравнения величин, опирающегося на их предварительное кратное сравнение с помощью числа. Учебные действия, позволяющие решить данную задачу, направлены на поиск, обнаружение и усвоение детьми свойств, характеризующих кратное отношение величин, фиксация которого в модели как раз и обозначает число.

При выполнении первого учебного действия дети осуществляют такое предметное преобразование величин, когда в них обнаруживается кратность отношения. При этом ребенок находит некоторую третью величину (меру), с помощью которой можно установить кратность двух исходных величин, требующих разностного сравнения. Например, величины А и В не могут быть сравнены непосредственно (так, отрезки не могут быть непосредственно наложены друг на друга). Условия задачи преобразуются ребенком так, что он находит некоторую величину, применение которой позволяет ему определить, сколько раз эта величина “укладывается” в исходных величинах А и В. Поиск того, сколько раз величина с “укладывается” в величинах А и В, позволяет ребенку определить их кратное отношение, которое можно записать с помощью такой формулы:

и (черта между буквами означает кратность)

Следующее учебное действие связано с моделированием процесса выделения кратного отношения и его результата. В данном случае это моделирование осуществляется при единстве предметной, графической и буквенной форм. Так, первоначально кратное отношение может быть выражено с помощью предметных или графических палочек (“меток”), указывающих результат как отдельного “наложения” меры, так и всех подобных “наложений” (сколько раз данная мера содержится в величине через их кратное отношение). Затем результат может быть выражен в словесной форме – в форме числительных (“один, два, три… раз”). Тогда формулы кратного отношения и опосредствованного разностного отношения приобретают вид

4<5; A<B.

В общем виде эти формулы могут быть записаны так:

K<M; A<B

Таким образом, буквенная модель процесса и результат выделения кратного отношения в общем виде выглядит так:

Благодаря этой общей формуле модели, дети могут выделить и фиксировать любое частное кратное отношение величин, выражаемое в соответствующем конкретном числе. По соотношению самих этих чисел (т.е. по свойствам числа как модели кратного отношения) можно опосредованным путем решить исходную задачу разностного сравнения.

Третье учебное действие состоит в таком преобразовании самой модели выделенного отношения, которое позволяет изучать его общие свойства.

Четвертое учебное действие направлено на конкретизацию общего способа выявления кратного отношения и на решение частных задач, предполагающее поиск и фиксацию конкретных чисел, характеризующих отношения вполне определенных величин (например, здесь от ребенка требуется нахождение числовой характеристики данной непрерывной или дискретной величины при данной мере). Это действие позволяет детям связать общий принцип получения числа с частными условиями сосчитывания совокупностей или измерения непрерывных объектов. При этом подлинное понимание числа обнаруживается в том, что ребенок может свободно переходить от одной меры к другой при определении характеристики того же объекта, а тем самым соотносить с ним разные конкретные числа (одна и та же физическая величина может быть соотнесена с самыми разными конкретными числами).