Процесс формирования понятия числа в начальной школе

Таким образом, дети решают исходную учебную задачу путем построения общего способа получения числа и одновременно усваивают его понятие. Теперь они могут применять этот способ и соответствующее ему понятие в самых разных жизненных ситуациях, требующих определения числовых характеристик объектов.

Трудности школьников в понимании числа

Как ни сильна в школьном обучении, по программе разви

вающего обучения, тенденция сведения всех форм числа к одной – отношению величин, к числу как к абстрактному средству измерения, построение школьного курса математики, сталкивается с большими психологическими трудностями.

Обычно математическое развитие ребенка в начальной и средней школе понимается как переход от эмпирического, ненаучного мышления дошкольника к понятийному, научному, теоретическому мышлению ученика школы.

Курганов отмечает, что отделение от вещи её величины для изучения величин в “чистом виде” есть переход к особому типу мышления нового времени. Проблема освоения мира здесь подменяется задачей присвоения только одного видения мира (мир как предмет измерения) .

При сведе́нии обучения к присвоению только данной модели мира (обучение как “восхождение от абстрактного к конкретному”) происходит примерно следующее. Начинают с проблемы восстановления целостной формы. Затем проблема восстановления и построения вот этой целостности, единичной формы подменяется задачей выделения параметров вещей (величин) и оперированием с ними. От целостной вещи отделяется величина и моделируется отрезком длины (идея количества как пространственно-временного качества), к индивидуальности предмета уже не возвращаются.

Вместе с тем ви́дение вещи как целостной, невозможность сравнения индивидуально-неповторимых предметов по абстрактно выделенным параметрам, невозможность рассматривать число только как средство измерения величин (три яблока все же чем-то очень важным отличаются от трех половинок яблока, и шесть ёлочек очень трудно охарактеризовать числом “три”, даже если в качестве мерки выбрать две ёлочки) постоянно прорываются в мышлении школьников.

На уроке дети рассматривают число только как средство измерения величин, но вместе с тем у них существует другое, можно назвать “житейское”, понимание числа.

Дети не всегда различают представление числа (способ записи) и понимание числа (когда ребенок может свободно переходить от одной меры к другой при определении характеристики того же объекта, а тем самым соотносить с ним разные конкретные числа).

Пифагорейское учение о числе

В истории математики существует другое, представление числа, нежели представление числа как кратное отношение величин.

История античной арифметики начинается с пифагорейцев. Именно пифагорейцы внесли наибольший вклад в развитие этой дисциплины. По преданию, Пифагор (570-497 до н.э.) первый назвал мироздание словом “космос” (надлежащий порядок). Цель пифагорейской общины состояла в обустройстве жизни в согласии с божественным космическим законом. Начала такого обустройства Пифагор и его ученики видели в правильной связи и соразмерности всего сущего; источником же соразмерности служили числовые отношения, и поэтому первоначалом всего оказалось число .

Пифагорейцы считали, что все закономерности мира можно выразить с помощью чисел, что “элементы чисел являются элементами всех вещей, и что весь мир в целом является гармонией и числом” (Аристотель) . Отсюда исключительный интерес пифагорейцев к основе основ – арифметике (наука, изучающая сущность числа), с помощью которой можно выразить все отношения между вещами и построить модель мира.

Арифметика пифагорейцами считалась главной среди основных разделов, составляющих систему знания - геометрии (как учения о фигурах и способах их измерения), музыки (как учения о гармонии и ритме) и астрономии (как учения о строении Вселенной).

Пифагор считал, что все вещи имеют число и между всеми числами имеется отношение. Согласно пифагорейскому определению, впоследствии принятому в античной философии, число представляет собой множество, составленное из единиц. Единица в пифагорейской традиции представляет собой “минимальную сущность” “неделимую по природе” и служит “естественным началом всех чисел”. Монада, согласно пифагореизму, есть всевключающее Единое Начало, "благородное число, Прародитель Богов и людей". Монада-начало числа, а число-совокупность монад.

Числа у Пифагора считались не просто абстрактными заменителями реальных вещей, но живыми сущностями, отражающими свойства пространства, энергии или звуковой вибрации.

Основу теоретической арифметики пифагорейцев составляло рассмотрение и доказательство теорем – утверждений, относящихся или ко всем вообще числам без исключения, или ко всем числам некоторого определенного класса (например, ко всем нечетным числам), и не зависящих от того, сколько конкретных единиц в этих числах содержится. Исходный способ доказательства арифметических (равно как и геометрических) теорем состоял в наглядной демонстрации их истинности. Каждый особенный числовой класс при “демонстрационном” способе доказательства характеризовался, прежде всего, своим фигурным обликом – эйдосом.

Главная наука о числе, арифметика, была неразрывно связана с геометрией и потому числа, соотносились с правильными геометрическими фигурами. Они подразделялись на:

линейные числа (рис 1.1.) - самые простые числа, которые делятся только на единицу и на самих себя и вследствие этого могут быть изображены в виде линии, составленной из последовательно расположенных точек;

плоские числа (рис 1.2.) - числа, которые могут быть изображены и представлены в виде произведения двух сомножителей;

телесные числа (рис 1.3.) - числа, которые могут быть выражены произведением трех сомножителей;

треугольные числа (рис 1.4.) - числа, которые могут быть изображены треугольниками;

квадратные числа (рис 1.5.) - числа, которые могут быть изображены квадратами;

и т.д.

В случае фигурных чисел в роли основной порождающей операции выступает применение гномона (последовательно прибавляемые к единице или к другому началу “слои” греки называли гномонами). Общее определение гномона находим у Герона: “вообще гномоном является то, что при прибавлении к чему-нибудь, числу или фигуре оставляет составленное целое подобным тому, что было до прибавления”.

Бытует мнение, что ранние пифагорейцы занимались в арифметике по преимуществу тем, что искали для каждого числа его “истинную форму”, своего рода “портрет”. Дескать, число “три” было для них только треугольным, а число “четыре” только квадратным. Щетников А.И. в своей работе опровергает это мнение. Он пишет о том, что гораздо более осмысленным представляется считать, что пифагорейцы в своей арифметике исходили отнюдь не из отдельных чисел, приискивая им “форму”, а из самих формообразующих принципов как таковых. В центре их интереса находилась живущая в четности и нечетности, треугольности, квадратности, пятиугольности, гетеромекности, кубичности, пирамидальности и других идеях – “фигурностях” ритмичность воспроизводства формы через регулярное наращивание количества. Этот интерес привел пифагорейцев к открытию взаимосвязи отдельных форм: к примеру, они установили, что всякое квадратное число раскладывается в сумму последовательных нечетных чисел, и т.п. тем самым идея квадратного числа, или квадратность, для математиков пифагорейской школы состояла, прежде всего, в том, что в этой квадратности уже были потенциально скрыты и путем различных преобразований формы могли быть выявлены треугольность, гетеромекность, четность, нечетность и другие “фигурности” .