Процесс формирования понятия числа в начальной школе

Реализация факультативного курса «Пифагорейское учение о числе и величине»

В общеобразовательном лицее №1 существует факультативный курс “Пифагорейское учение о числе и величине”, который проводится для детей третьего класса.

Факультативный курс “Пифагорейское учение о числе и величине” разработан и реализуется учителем математики общеобразовательного лицея №1 Ольшевской Н.А.

Данный

факультативный курс проводится в общеобразовательном лицее №1 второй год, начиная с 2000-2001 учебного года.

Цель, замысел и программа факультативного курса

Основная цель факультативного курса

Расширить знания о числе не только как о результате измерения величины меркой, но и представить число через эйдос (образ), подробно разработанный Пифагорейской школой.

Задействовать, за счет фигурного представления чисел, образное мышление школьников внутри математики.

Замысел факультативного курса

Дети знакомятся с новым представлением числа, которое существенно отличается от известного им представления числа как кратного отношения величин.

На факультативе дети впервые получают представление о понятии теорема. Убеждаются в том, что доказательства утверждений, теорем с помощью пифагорейских фигурных чисел являются наглядными (их можно увидеть собственными глазами).

Представление числа в виде эйдоса позволяет находить детям, без предварительных знаний (они являются очевидными), законы арифметических операций и различные числовые закономерности. Так, например дети занимаются построением очевидных арифметических прогрессий, хотя в начальных классах такую тему не проходят.

Детям предоставляется возможность написания реферативно-творческих работ по материалам древнегреческой математики.

Программа факультативного курса

1. Фигурные числа. (4 часа)

Эйдос (портрет) числа. Разновидности фигурных чисел. Гномоны (способы получения чисел). Идея квадратности, треугольности, гетеромекности чисел в Пифагорейском учении.

2. Учение о четных и нечетных числах. (12 часов)

Теорема как доказанное утверждение. Очевидность доказательства в древнегреческой математике. Четные и нечетные числа. Теоремы.

3. Правила построения квадратных, гетеромекных, прямоугольных, треугольных чисел. (10 часов)

Очевидные построения арифметических прогрессий. Теоремы о правилах построения различных чисел и случаи доказательства.

Содержание занятий факультативного курса

На занятиях факультатива дети знакомятся с разновидностями фигурных чисел. Изучают способ получения фигурных чисел при помощи гномона. Строят квадратные, треугольные, гетеромекные, прямоугольные и другие виды пифагорейских чисел. Решают различные задания, в которых необходимо построить, например квадратное число из двух последовательных треугольных чисел, гетеромекное число из двух одинаковых треугольных чисел и т.п.

При изучении четных и нечетных чисел дети решают задания, в которых нужно показать, что четное квадратное число делится на четыре равных квадратных числа или, что разность двух нечетных квадратных чисел может быть разделена на восемь одинаковых частей и т.п.

При изучении темы “Учение о четных и нечетных числах” дети знакомятся с понятием теоремы как доказанным утверждением. Могут убедиться в очевидности (наглядности) доказательства.

Некоторые основные теоремы о четных и нечетных числах

При доказательстве четное число изображается, как состоящее из двух равных половинок, а нечетное число составляется из четного числа и дополнительной единицы.

Теорема 1. Два четных числа составляют в сумме четное число (рис. 2.1.).

Теорема 2. Четное и нечетное числа в сумме составляют нечетное число (рис. 2.2.).

Теорема 3. Два нечетных числа в сумме составляют четное число (рис.2.3.).

Теорема 4. Прямоугольное число, у которого хотя бы одна из сторон является четной, само является четным (число разделено на две одинаковые половины поперек четной стороны) (рис. 2.4.).

Теорема 5. Всякое гетеромекное число является четным. [В самом деле, одна из сторон гетеромекного числа обязательно будет четной, и тем самым (Теорема 4) всякое гетеромекное число является четным.] и т.д.

Изученные теоремы (правила) о четных и нечетных числах, дети могут использовать на уроках математики. В подтверждение этого был проведен эксперимент.

Эксперимент. На факультативном курсе были пройдены теоремы о четных и нечетных числах, при рассмотрении которых использовались фигурные числа. Спустя некоторое время была проведена проверочная работа, на которой детям предлагалось решить следующее задание:

Задание. Определите, не вычисляя, какое число четное или нечетное получится в результате вычислений.

а) 13205+787; б) 8025∙786;

13205+286; 8025∙137;

7438+568; 10378∙786.

7438+605.

Вопросы: №1. Почему вы считаете, что число четное или нечетное?

№2. Помогли ли вам пифагорейские теоремы о четных и нечетных числах?

Результаты: из 27 человек без ошибок выполнили – 16 человек. Из них 7 человек обосновали свои ответы (ответили на вопрос №1). На вопрос №2 ответили положительно19 человек.

Данный эксперимент позволяет сделать вывод о том, что многие дети, могут материал, полученный на факультативе, использовать на уроках математики.

По программе факультативного курса, дети на занятиях занимаются построением арифметических прогрессий. Это может показаться странным, так как в начальных классах такую тему не проходят, но представление числа в виде эйдоса позволяет находить различные числовые закономерности, без предварительных знаний, так как они являются очевидными.

Диагностика учебных и образовательных эффектов факультативного курса “Пифагорейское учение о числе и величине”

Моделирование фигурных чисел. Работа с “общим случаем”

Постановка задачи

При исследовании предметных и образовательных эффектов факультативного курса “Пифагорейское учение о числе и величине” было выдвинуто несколько предположений. Одно из них состояло в том, что факультативный курс “Пифагорейское учение о числе и величине” предоставляет детям новые ситуации для моделирования. Необходимо было проверить, действительно ли дети моделируют на новом материале.

Моделирование как учебное действие является центральным в учебной деятельности школьников на разных ступенях образования, поскольку без него невозможно теоретическое мышление.

В развивающем обучении, при изучении понятия числа, происходит моделирование процесса выделения кратного отношения и его результата [6]. Так, кратное отношение может быть выражено с помощью предметных или графических палочек (“меток”), указывающих результат как отдельного “наложения” меры, так и всех подобных “наложений” (сколько раз данная мера содержится в величине через их кратное отношение) (рис 3.1.).