Процесс формирования понятия числа в начальной школе

В возникшем понятии “фигурного числа”, нашла свое отражение тесная связь, существующая между понятиями числа и пространственной протяженностью.

Кольман Э. пишет о том, что у пифагорейцев точка, изображавшая единицу, была дальше неделима – она была математическим атомом; сама точка определялась как единица, обладающая положением. Для того чтобы быть отличимыми друг от друга, единицы-точки до

лжны были отделяться пространством, каждая точка должна была иметь вокруг себя “поле”. Благодаря этому каждое число можно было изображать не только при помощи точек, но и квадратных полей, или тех и других, как, например, число 3 в виде (рис. 1.6.):

. . .

Таким образом, в основе здесь лежит понятие числа, которое лишь изображается фигурой: геометрия подчинена арифметики.

Фигурные числа отражали своим видом способ, которым они были арифметически порождены, т.е. были ли они получены путем сложения или умножения.

Числа-произведения делились пифагорейцами на “прямолинейные”, т.е. простые числа, которые, так как они не разлагаются на множители, изображались точками, расположенными вдоль отрезка; “плоскостные числа”, разлагающиеся на два множителя и изображающиеся точками, образующими прямоугольник или квадрат, и “телесные числа”, разлагающиеся на три множителя и изображающиеся точками, образующими параллелепипед или куб.

Среди чисел-сумм пифагорейцы выделяли “многоугольные числа”. Наиболее простыми из них были “треугольные”:

1, 1+2=3, 1+2+3=6, 1+2+3+4=10,…

Из треугольных чисел пифагорейцы получали и все квадратные числа (рис. 1.7.).

Тем же путем, присоединяя, друг к другу три равных треугольных числа, получали пятиугольные числа и т.д.

Далее определялись “пирамидальные числа”, образуемые сложением многоугольных чисел. Простейшие из них, “четырехгранные числа”, получаются из треугольных чисел 1=1, 1+3=4, 1+3+6=10, 1+3+6+10=20… и изображаются в виде пирамид с треугольным основанием.

Представление числа в виде правильных геометрических фигур помогало пифагорейцам находить различные числовые закономерности.

Например, чтобы получить общее выражение для п-го треугольного числа, которое есть не что иное, как сумма п натуральных чисел 1+2+3+…+п, достаточно дополнить это число до прямоугольного числа п*(п+1) и увидеть (именно увидеть глазами) равенство:

1+2+3+…+п=п*(п+1) (рис 1.8.). (1)

Написав последовательность квадратных чисел, легко увидеть глазами выражение для суммы п нечетных чисел (рис. 1.9.):

1+3+5+…+(2п-1)= (2)

(При выводе равенства использован метод гномона.)

. … ….

… ….

… ….

….

Наконец, разбивая п-е пятиугольное число на три (п-1) треугольных (после чего остается еще п “камешков”), легко найти его общее выражение:

1+4+7+…+3п-2=п+3 (3)

Разбиением на треугольные числа получается и общая формула для п-го k-угольного числа

, (4)

откуда при k=2,3,4 следуют формулы (1-3).

Конечно, сегодняшний школьник легко заметит, что суммы (1-3) есть не что иное, как арифметические прогрессии, разность которых d соответственно равна 1,2,3 (для k-угольного числа d=k-2), и по соответствующей формуле найдет эти суммы и общую формулу (4):

Но в том-то и прелесть пифагорейских доказательств, что они не требуют никаких предварительных знаний и в буквальном смысле очевидны.

Фигурное представление чисел помогало пифагорейцам открывать законы арифметических операций.

Так, представляя плоское число 10 в двух формах (рис 1.10.):

5*2=2*5=10,

легко “увидеть” переместительный закон умножения: ab=ba.

В том же числе 10:

(2+3)*2=2*2+3*2=10

можно “разглядеть” и распределительный закон сложения относительно умножения (рис 1.11.):

(a+b)c=ac+bc и т.д

Фигурные числа (например, квадратные и кубические) дали возможность легко переходить к числовой характеристике геометрических объектов – измерению площадей и объемов, т.е. подойти к решению собственно геометрических задач.

Так, если “камешки”, образующие фигурные числа, мыслить в виде равных по площади квадратиков, то, укладывая их в прямоугольное число ab (рис 1.12.):

Автоматически получаем формулу для вычисления площади прямоугольника

S=ab

Изучая свойства чисел, пифагорейцы впервые обратили внимание на законы их делимости. Они разбили все числа на четные и нечетные, на простые и составные. Пифагорейцы создали так называемое учение о четных и нечетных числах, которое с современной точки зрения является теорией делимости на два.

Пифагорейская наука о числах, переведенная в пространственную, то есть геометрическую плоскость, позволила ввести в эту область знания понятие аксиом (отправных недоказуемых положений, носящих характер самоценной истины) и теорем (выводящих истину из предшествующих логических рассуждений и систем аксиом). "Доказуются теоремы, а аксиомы проверяются сердцем", - говорил Пифагор, подчеркивая разницу между рациональным и интуитивным способом познания.