Процесс формирования понятия числа в начальной школе

Буквенная модель процесса и результат выделения кратного отношения выглядит так

В начальной школе при моделировании числа (как кратного отношения величин) объект моделирования и сама модель сильно не отличаются. Возникает вопрос, о том, что моделирован

ием дети овладевают вообще или только на величинах.

Данный факультатив предоставляет детям новый материал для моделирования. А именно моделирование чисел представленных через эйдос, т.е. чисел которые представлены не как отношение величин (модель и объект моделирования существенно отличаются).

Были разработаны задания, решения которых связаны с построениями моделей фигурных чисел. В заданиях предлагалось доказать, что утверждения являются теоремами.

Рассмотрение и доказательство теорем есть ничто иное, как работа с фигурными числами в “общем случае”. Была выдвинута гипотеза о том, что за счет факультативного курса “Пифагорейское учение о числе и величине” дети научаются выстраивать способ работы с фигурными числами в “общем случае”.

Проведены проверочные занятия факультатива, где детям предлагалось решить данные задания.

Замысел проверочных занятий

На факультативе были пройдены теоремы:

№1. Сумма двух треугольных чисел равна гетеромекному числу;

№2. Сумма двух последовательных треугольных чисел равна квадратному числу.

На занятиях их рассматривали как задания, а не теоремы. Дети их решали (показывали) на конкретных примерах. Как теоремы не рассматривали и не доказывали.

Задание: доказать, что утверждения, ранее рассмотренные как задания, являются теоремами.

Ход занятия:

1. Дети раньше встречались с понятием теорема. Предстояло вспомнить, что теорема это утверждение, которое справедливо для всех чисел, и чтобы доказать, что утверждение является теоремой необходимо показать, что оно выполняется не только для конкретных чисел, а для любого взятого числа.

2. Доказательство теоремы №1.

а) Показать, что утверждение справедливо для конкретных чисел.

б) Построить модель треугольного числа (чтобы показать, что утверждение справедливо для всех треугольных чисел) (рис 3.2.).

выделить форму;

обозначить стороны;

выделить первый и последний гномон;

показать, что между выделенными гномонами

находятся еще гномоны.

в) Доказать, что утверждение справедливо для любого треугольного числа, используя полученную модель треугольного числа (рис. 3.3.).

г) Исследовать получившееся число (стороны получившегося числа разнятся на единицу, следовательно, число гетеромекное).

3. Сформулировать утверждение как теорему.

4. Самостоятельно доказать теорему №2 (рис. 3.4.).

Описание проведенных проверочных занятий

Класс был разбит на две группы, и с каждой группой занятие проходило отдельно. Ход занятия в обеих группах во многом совпадал.

1. В начале урока детям напомнили о том, что ранее на факультативе они решали задание, где нужно было показать следующее: “Сумма двух треугольных чисел равна гетеромекному числу”. Детям объяснили, что это не просто задание, а что это утверждение, которое может быть теоремой. На вопрос, что такое теорема дети затруднились ответить, и им пришлось напомнить о том, что теорема это утверждение которое справедливо для всех чисел (т.е. выполняется не только для каких-то конкретных чисел, а для любого взятого числа).

2. Поступило предложение, проверить, будет ли это утверждение являться теоремой.

а) Сначала показали, что это утверждение справедливо, на конкретных примерах (рис. 3.5., рис. 3.6.). Попутно вспомнили, какие числа являются треугольными, гетеромекными.

б) Далее перед детьми встал вопрос о том, как можно показать, что утверждение справедливо для всех треугольных чисел, ведь они сами выделили, что треугольных чисел бесконечно много и всех их перебрать нельзя. Поступило предложение о том, что нужно показать “любое” треугольное число (модель).

Строительством модели треугольного числа занимались все вместе.

Первое, что предлагали дети, это показать форму треугольного числа (рис. 3.7.).

Затем предложили обозначить стороны за х (рис. 3.8.). На вопрос: “Почему именно х, а нельзя обозначить какой-то другой буквой?”, дети ответили: “Можно. Это буква обозначает, что сторона - любое число”.

Заметили, что получившаяся модель треугольного числа похожа на треугольник. Чтобы показать, что это треугольное число, а не треугольник выделили первый гномон-единицу (с чего начинается число) и последний (необходимо показать, что число состоит из гномонов) (рис. 3.9.).

Чтобы показать, что между первым и последним гномоном находятся еще гномоны (показать графически, что на стороне треугольного числа, х единиц), предложили расстояние между ними обозначить пунктиром. Было предложение еще посередине поставить гномон, но его посчитали неверным, т.к. это бы означало, что гномонов всего три.

Таким образом, была получена модель треугольного числа (рис 3.10.).

в) Используя полученную модель треугольного числа, пробовали доказать утверждение.

Во 2 группе ребенок, который работал на доске, получил квадратное число (рис. 3.11.).

Дети его исправили: “неправильно прибавил, он прибавил только уголок, а не все число”.

В итоге получили следующее (рис. 3.12.):

г) Определили, что у получившегося числа одна сторона равна х, а другая х и еще один гномон, т.е. х+1. На вопрос “Какое число получили?”, дети отвечали “Получили гетеромекное число, т.к. его стороны отличаются на единицу”.

Сделали вывод о том, что данное утверждение является теоремой, т.к. справедливо для всех треугольных чисел.

3. Дети сами сформулировали и записали теорему.

1 группа: “Если любое треугольное число сложить с таким же треугольным числом, то получится гетеромекное число”.

2 группа: “Если любое треугольное число прибавить к тому же треугольному числу, то получится гетеромекное число”.

4. Далее детям было предложено проверить, будет ли являться теоремой следующее утверждение “Сумма двух последовательных треугольных чисел равна квадратному числу”. На вопрос “Вы можете это сделать?”, дети отвечали “да”.

Уч. Как?

Д. Построить модель, доказать на моделях, сформулировать теорему.