Процесс формирования понятия числа в начальной школе

Задание.

Решить задачу: Один маклер продает 10 акций в день. В первый день работал один продавец акций, каждый последующий день прибавлялось по одному рабочему. Сколько акций будет продано за 12 дней?

Ход занятия:

Предполагалось, что при решении задачи дети не могут пользоваться формулами арифметической прогрессии, т.к. такую тему в третьем классе не проходят.

1) Дети могут посч

итать: 10+10*2+10*3+…+10*12=780.

Тогда можно изменить условия задачи, например “Сколько акций будет продано не за 12, а за 100 дней”.

2) Могут построить схему решения на отрезках (рис. 3.15.) и обобщить ее (рис. 3.16).

3) Могут использовать для решения пифагорейские числа.

Вспомнить, что у треугольных чисел в каждом последующем гномоне прибавляется по одной единице (так же как и в задаче, каждый день прибавляется по одному рабочему).

Найти общее выражение (формулу), для п-го треугольного числа (п*(п+1)).

а) вспомнить, что сумма двух треугольных чисел равна гетеромекному числу;

б) найти общее выражение (формулу), для п-го гетеромекного числа (п*(п+1));

в) найти общее выражение (формулу), для п-го треугольного числа.

Описание проведенного проверочного занятия

Задание.

Решить задачу: Один рабочий продает 10 акций в день. В первый день работал один продавец акций, каждый последующий день прибавлялось по одному рабочему. Сколько акций будет продано за 12 дней?

Ход занятия.

Задача была записана на доске. Детям предложили записать в тетрадях задачу с доски и решить ее.

Решение задачи.

1) Некоторые дети сразу сказали, что будет ответ - 120 акции. Остальные дети не согласились с таким ответом и объяснили и почему (“ответ будет правильным, если все 12 дней будет продавать один рабочий, но по условию задачи каждый следующий день прибавляется по одному рабочему”).

Некоторое время посвятили пониманию условия задачи. Дети разбирались, с тем, что будет происходить в каждый день продажи. Обратили главное внимание на то, что каждый день будет прибавляться по одному рабочему, т.е. каждый день будет продаваться на 10 акций больше предыдущего дня.

2) Один ученик сказал, что ответ будет 780 акций. На вопрос как он это получил, сказал, что посчитал.

10+10*2+10*3+…+10*12=780

Тогда ему было предложено решить задачу, в которой нужно узнать, сколько акций будет продано не за 12 дней, а, например за 100 дней.

Ученицей (Настей К.) было предложено такое решение (рис. 3.17.)

Уч.: Настя, а если нужно узнать, сколько акций будет продано не за 12 дней, а, например за 100 дней, ты будешь рисовать дальше? Боюсь, что тебе не хватит доски.

3) Одна ученица сказала, что на зимней школе им показывали следующее решение (рис. 3.18.):

1 пара: 1+12=13;

2 пара: 2+11=13;

3 пара: 3+10=13;

Д.: Всего 6 пар. Получается 13*6=78, а так как один рабочий продает 10 акций в день, то нужно 78*10=780.

Уч.: Как будет выглядеть решение, если будет не 12, а намного больше?

Вспомнили, как раньше обозначали числа в подобных выражениях.

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12

а а

Уч.: Тогда как будет выглядеть их сумма?

Д.:

Уч.: А как будет выглядеть сумма, например, для 100?

Под диктовку детей было записано

4) Далее дети попытались решить задачу, используя пифагорейские числа. Сначала вспоминали, какие бывают числа (четные, нечетные, треугольные, квадратные, гетеромекные и т.д.).

Один ученик произнес о том, что у треугольных чисел в каждом последующем гномоне прибавляется по одной единице, также как в задаче прибавляется по одному рабочему. (“Треугольное число состоит из монады – единицы, затем первого гномона, где две единицы, второго гномона, где три единицы и т.д.”)

На доске нарисовали треугольное число (рис. 3.19.).

Уточнили, что у треугольного числа стороны одинаковые. В данном случае будут равны 12.

Д.: Чтобы решить задачу нужно найти количество единиц в получившемся треугольном числе. Найти, чему равна площадь треугольника со стороной равной 12.

Один ученик сказал, что площадь треугольника равна половине площади квадрата со стороной равной стороне треугольника. Он попытался построить квадратное число со сторонами равными 12.

Вспомнили о том, что раньше доказывали утверждение “Сумма двух треугольных чисел равна гетеромекному числу”. Сделали вывод: если к данному треугольному числу прибавить такое же число, получится гетеромекное число, а не квадратное.

Ученик, который стоял у доски (строил квадратное число) предложил такое решение (рис. 3.20.):

Многим детям было непонятно зачем нужно еще прибавлять . Тогда ученик попробовал обосновать свое решение.

Д.: Если данное треугольное число достроить до квадратного числа, то получится, что 12-й гномон, который является главной диагональю получившегося квадрата, будет общим для двух треугольных чисел. Следовательно, чтобы получить треугольное число нужно прибавить еще половину диагонали.

Урок закончился. Сделали вывод о том, что различное представление числа позволяет находить разные способы решения одной задачи.

Анализ проведенного проверочного занятия

Главная цель проверочного занятия состояла в том, чтобы проверить насколько, дети соотносят пифагорейские числа, т.е. числа которые представлены фигурно с числами, которые представлены как кратное отношение величин.

Задание подразумевало решение задачи с использованием фигурных чисел, при этом условия задачи с ними никак не связаны.

При решении несколько учеников невнимательно отнеслись к условиям задачи. Поэтому некоторое время посвятили пониманию условий задачи. (Разбирались, с тем, что будет происходить в каждый день продажи.)

Как и предполагалось, один ученик получил ответ, посчитав все дни:

10+10*2+10*3+…+10*12=780

Тогда ему было предложено решить задачу, в которой нужно узнать, сколько акций будет продано не за 12 дней, а, например за 100 дней. То есть ученику предложили обобщить решение.

Попытались построить схему решения на отрезках, но не обобщили ее.

Было интересно, когда одна ученица показала способ решения, который освоила в зимней школе и смогла применить для данной задачи.

С помощью учителя дети вспомнили, как раньше обозначали числа в подобных выражениях, и вывели формулу вычисления суммы для 12 чисел, а затем для 100.