Процесс формирования понятия числа в начальной школе

Уч. Модели, каких чисел нужно построить?

Д. Модели двух последовательных треугольных чисел.

Дети сразу определили, что у последующего треугольного числа стороны равны х+1 (отличаются на единицу) (рис. 3.13.).

Используя полученные модели, доказали второе утверждение (рис. 3.14.).

="images/referats/29282/image041.png">

Определили, что у получившегося числа одна сторона равна х+1, другая х и еще один гномон, т.е. тоже х+1. Получили квадратное число, т.к. его стороны равны.

Сформулировали утверждение как теорему: ”Если любое треугольное число прибавить к следующему за ним треугольному числу, то получится квадратное число”.

Анализ проведенных проверочных занятий

Класс был разбит на две группы. С каждой группой занятие проходило отдельно. На занятиях принимали активное участие, в построении моделей фигурных чисел, в первой группе 6-7 человек из 12-14, а во второй группе 5-6 человек из 11-13.

Главная цель занятия состояла в том, чтобы проверить, способны ли дети моделировать на новом материале, там, где модель и объект моделирования существенно отличаются, а именно строить модели чисел представленных через эйдос. Задания подразумевали доказательства теорем, которые невозможны без построения моделей фигурных чисел, а также последующего выполнения действий с ними.

С построением моделей пифагорейских чисел, как в первой, так и во второй группе дети успешно справились. Дети смогли моделировать объекты фигурные числа, которые раньше никогда не моделировали и которые существенно отличаются своим видом от чисел представленных в РО.

При построении модели треугольного числа дети первое, что делали это, выделяли форму числа, а также предлагали обозначить сторону х. Это говорит о том, что дети могут переносить известные им элементы моделирования:

•обозначать неизвестное количество буквой, где буква - это любое число (говорят именно букву х, потому что видимо именно с ней работают на уроках математики; не отрицают, что можно обозначить любой другой буквой);

•обозначать пунктиром наличие гномонов находящихся между первым и последним.

С выполнением действий с моделями многие дети успешно справились, и когда во второй группе ученик на доске неправильно прибавил числа, его сразу поправили.

При исследовании полученного числа дети сразу увидели, что его стороны отличаются на единицу. На вопрос “Какое получилось число?” отвечали “гетеромекное”. В полученной, путем суммы двух треугольных чисел, модели гетеромекного числа наглядно было видно, какое это число.

После доказательства дети смогли сформулировать теорему, при этом, не забывая уточнять “любое треугольное число”.

Когда было предложено доказать еще одно утверждение стало ясно, что дети усвоили способ доказательства “нужно построить модель, доказать на моделях, сформулировать теорему”. При доказательстве второй теоремы сразу определили, модели каких чисел нужно строить, и что у модели последующего треугольного числа стороны будут равны х+1, т.к. он больше предыдущего на один гномон. Можно сказать, что у детей, получается, выстраивать способ работы с фигурными числами в “общем случае”.

На занятии дети получили представление о понятии теорема (как об утверждении справедливом для любого числа), построили модели фигурных чисел, выполнили действия с моделями, смогли доказать, что данные утверждения являются теоремами.

Дети смогли убедиться в том, что доказательства утверждений с помощью пифагорейских фигурных чисел являются наглядными, их можно увидеть собственными глазами.

По итогам проведенных проверочных занятий можно сделать вывод о том, что дети на факультативном курсе “Пифагорейское учение о числе и величине”, способны моделировать в новых для них ситуациях. Могут строить модели не только чисел, которые представлены как отношение величин, но и чисел представленных через эйдос (объект моделирования и модель существенно отличаются).

За счет факультативного курса “Пифагорейское учение о числе и величине” дети учатся выстраивать способ работы с фигурными числами в “общем случае”.

Связь между двумя представлениями числа

Постановка задачи

В начальной школе по программе развивающего обучения ученики овладевают понятием числа как отношением величины к мерке. При этом отмечается то, что дети не всегда различают представление числа (способ записи) и понимание числа (когда одна и та же физическая величина может быть соотнесена с самыми разными конкретными числами). В мышлении школьников постоянно прорываются невозможность рассматривать число только как средство измерения величин, сравнение индивидуально-неповторимых предметов по абстрактно выделенным параметрам. [9]

Факультативный курс “Пифагорейское учение о числе и величине” дает совсем другое представление числа, а именно фигурное представление числа. Как отмечалось выше, пифагорейское представление числа существенно отличается от представления числа в РО (и визуально и словесно). Возникло предположение о том, что данный факультативный курс позволяет исследовать, как дети соотносят числа представленные по-разному, а именно пифагорейские числа с числами, которые представлены как кратное отношение величин.

Для исследования данного предположения были разработаны задачи на перенос способа. Решение данных задач предполагало использование пифагорейских чисел, при этом условия задач с ними никак не связаны.

Если дети при решении задач будут использовать фигурные числа, то значит, они соотносят пифагорейские числа - числа представленные через эйдос с числами, которые представлены как кратное отношение величин. Появилась гипотеза о том, что за счет факультативного курса “Пифагорейское учение о числе и величине” дети научаются использовать фигурные числа как способ решения задач, в том числе в тех задачах, где явно не сказано о каком представлении числа идет речь.

Были проведены проверочные занятия факультатива, где детям предлагалось решить данные задачи.

Замысел проверочного занятия

Цель занятия.

Проверить насколько дети соотносят пифагорейские числа, т.е. числа которые представлены фигурно с числами, которые представлены как кратное отношение величин.

Задачи занятия.

Предъявить задачу условия, которой не связаны с пифагорейскими числами, но при решении, которой нужно использовать фигурные числа.

Решением предлагаемой задачи является нахождение арифметической прогрессией с разностью равной единице. В третьем классе дети еще не проходят арифметическую прогрессию. Но представление числа в виде эйдоса позволяет находить различные числовые закономерности без предварительных знаний, они являются очевидными.

Моделью решения данной задачи является формула треугольного числа, т.к. общее выражение (формула), для п-го треугольного числа, (которое является суммой п натуральных чисел 1+2+3+…+п=п*(п+1)), есть не что иное, как арифметическая прогрессия, разность которой d равна 1 (для k-угольного числа d=k-2).