Процесс формирования понятия числа в начальной школе

1) знание названий первых десяти чисел и их последовательности;

2) понимание, что при пересчитывании совокупности последнее произнесенное слово (числительное) означает, сколько всего предметов в данной совокупности;

3) знание места каждого числа в натуральном ряде;

4) наличие представления о величине совокупности, обозначением которой это число является.

Рассмотрим наиболее хара

ктерные пункты этого перечня. Пункт 2 требует, чтобы ребенок понимал полученное числительное как обозначение количества предметов в данной совокупности, т. е. количества ее отдельных элементов. Это обстоятельство подчеркивается и в пункте 4: ребенок должен иметь представление о величине совокупности, обозначаемой данным (именно данным) числом. Следовательно, зная число “5”, ребенок обязан представлять соответствующую ему “величину” совокупности. Здесь акцент опять ставится на то, что числовая характеристика есть непосредственная характеристика совокупности, ее прямое, наглядное свойство.

Впрочем, это методическое требование наиболее реально обнаруживается в следующем факте. Изучая числа в пределе 100, дети связывают воедино 100 конкретных спичек – их связка, очевидно, должна дать ребенку “наглядное” представление о величине числа “100” .

Минская Г.И. в своей статье указывает о том, что абстракция числа здесь понимается как прямое отвлечение некоторого непосредственного свойства совокупности, так сказать “объема”, количества составляющих ее отдельных элементов.

Средством такого отвлечения должно быть сопоставление многих совокупностей по “объему” входящих в них элементов, т. е. выделение общего, одинакового момента, чем и является “абстрактное” представление о числе отдельных элементов. В учебнике с первых страниц дается именно эта схема выделения числовой характеристики совокупностей. Так, группа мальчиков сопоставляется с группой колес велосипеда, с группой палочек и группой точек. Что может быть общего, одинакового у этих столь разнокачественных совокупностей? Ничего, кроме количества отдельных составляющих их абстрактных элементов. Оно равно “2”. Это число характеризует такое непосредственное свойство любой из этих совокупностей, как их “величину”.

Аналогичным образом дети знакомятся со всеми числами до 10. Во всех этих случаях число выступает как абстрактное определение “величины” совокупности, выступающей при сопоставлении ее отдельных элементов – единиц с единицами других совокупностей. Как отмечает Минская Г.И. эта программа и методика, реализуемые в практике обучения, как раз и приводят к тому, что многие дети-первоклассники при наличии “хорошего” счета (по обычному стандарту) вместе с тем отождествляют число (множество единиц) с реальной совокупностью, не различают объекта счета и средств фиксации его результата, не умеют выделять любые основания счета и свободно переходить от одного основания к другому, не понимают зависимости числа от выбранного основания. В результате эти дети не получают полноценного понятия о числе, что отрицательно сказывается затем на всем последующем усвоении арифметики. В частности, эти дети, как показывают наблюдения, с трудом осваивают операции с именованными числами, с трудом понимают связь целых и дробных чисел.

Традиционный способ знакомства детей с числом имеет и более серьезные отрицательные последствия. В частности к ним в полной мере относятся те дефекты традиционного введения чисел, которые отмечает А. Н. Колмогоров (непосредственно он говорит о недостатках введения понятия о действительном числе, но они имеют глубокие корни еще при знакомстве ребенка с целым положительным числом): “Что общепринятая система с педагогической стороны дефектна, видно хотя бы из тех трудностей, которые затем возникают при усвоении учащимися независимости смысла геометрических и физических формул от выбора единиц измерения и понятия “размерности” геометрических и физических формул” .

Перед исследователями встала задача: сформировать у первоклассников такое понятие о числе, которое послужило бы полноценной основой счета как умственного действия. Механизм счета как умственного действия таков, что при его полноценном формировании человек уже без специальных и развернутых указаний самостоятельно выделяет любое нужное основание счета (“нужное” – по условиям практической задачи) и работает с этим основанием, находя без особых сознательных усилий отношение объекта к этому основанию. Возможность быстрой и свободной смены оснований счета, учет зависимостей, существующих между объектом, мерой и числом, показывают, что человек владеет самой формой числа как особым средством моделирования отношений конкретных физических объектов.

Эффективный шаг в этом направлении представляет курс развивающего обучения математики, по системе Д.Б. Эльконина и В.В. Давыдова.

Разработчики курса развивающего обучения определили то, что в методике традиционного курса отсутствует задача формирования у детей особого конкретного действия, раскрывающего им объект понятия числа (это действие заменяется формальным сравнением предметных групп). Как показал специальный анализ, таким действием является нахождение кратного отношения величин, когда одна из них служит мерой для выражения другой. Необходимость определения такого отношения и его фиксации в форме числа возникает в ситуации опосредованного уравнивания величин. При этом выбор меры счета или измерения, приводящий к определенной числовой характеристике величин, зависит от сложившейся ситуации, от общественного опыта и т.п. Во всяком случае, мера (“единица”) счета и измерения не обязательно по своим физическим свойствам должна совпадать с определенным предметом (эта мера может быть составной).

Содержание учебного предмета по математике в развивающем обучении

В основу развивающего обучения математике по системе Эльконина Д.Б. и Давыдова В.В., так же как и в основу принятого курса положена концепция действительного числа. Авторы курса отмечают то, что при обучении по общепринятой программе формирование у школьников единой концепции действительного числа существенно затруднено из-за ограниченного их ознакомления с исходными условиями происхождения самого понятия числа. Вследствие этого отдельные виды чисел усваиваются школьниками на разных основаниях и воспринимаются ими как независимые друг от друга (поэтому школьники испытывают трудности при переходе от натурального числа к дробному, от дробного к целому и т.д.).

В отличие от обычной программы в развивающем обучении предусматривается такой вводный раздел, при усвоении которого дети специально изучают генетически исходное основание последующего выведения всех видов действительного числа, а именно изучают понятие величины.

Этот подход к проблеме построения учебного предмета по математике определил следующую систему его основных учебных задач:

введение детей в сферу отношений величин – формирование у детей абстрактного понятия математической величины;

раскрытия детям кратного отношения величин как общей формы числа – формирование у детей абстрактного понятия числа и понимания основной взаимосвязи между его компонентами (число производно от кратного отношения величин);