Процесс формирования понятия числа в начальной школе

Далее решали задачу, используя пифагорейские числа. Вспоминая, какие бывают фигурные числа, детям удалось заметить, что у треугольных чисел в каждом последующем гномоне прибавляется по одной единице, так же как и в задаче, каждый день прибавляется по одному рабочему.

Дети предположили, что для решения задачи нужно найти количество единиц в треугольном числе со сторонами равными 12.

Один

ученик сказал, что площадь треугольника равна половине площади квадрата со стороной равной стороне треугольника. Он попытался построить квадратное число со сторонами равными 12.

Вспомнили о том, что раньше доказывали утверждение “Сумма двух треугольных чисел равна гетеромекному числу”. Сделали вывод о том, что если к данному треугольному числу прибавить такое же число, получится гетеромекное число, а не квадратное.

Было неожиданным, когда ученик получил решение, в котором данное треугольное число достроил до квадратного числа. По замыслу предполагалось, более очевидное решение. Дети, зная, что “Сумма двух треугольных чисел равна гетеромекному числу” найдут общее выражение (формулу), для п-го гетеромекного числа (п*(п+1)), а затем общее выражение, для п-го треугольного числа

(п*(п+1))

Говоря об активности учеников на проведенном занятии, следует уточнить, что данная задача для них была новым материалом. В связи с этим на уроке работала в основном “группа лидеров” из 6-8 человек. На сколько освоен новый материал другими учениками (≈15 человек), остается неясным.

Нужно отметить, что подобное решение похожей задачи описано в книге Вертгеймера М.

Задача: “Вдоль стены холла строится лестница, в которой 19 ступенек. Со стороны холла лестница будет облицована квадратными резными панелями с размерами, равными размерам ступенек. Сколько панелей нужно купить?”

Вертгеймер задавал эту задачу многим испытуемым, включая детей разного возраста, желая узнать, будет ли найдено правильное решение и какие средства, какие условия могут помочь найти его.

Одна из групп испытуемых обнаружила способ определения искомой суммы через определение площади треугольника с помощью дополнения его прямоугольника.

Поняв закон возрастания ряда, испытуемые рассматривали задачу определения суммы следующим образом: если скомбинировать эту лестницу с другой, перевернутой лестницей, то они окажутся подогнанными друг к другу и составят правильную фигуру без всякого нарушения (рис. 3.21.), искомая сумма тогда будет равна половине произведения основания на высоту n(n+1).

Эксперимент показал, что дети могут связывать разные представления числа для решения одной задачи. Детей не смутило то, что, решая задачу, они используют числа представленные через эйдос, хотя условия задачи с ними никак не связаны.

Можно сделать вывод: дети понимают, что пифагорейские числа отличаются от чисел, с которыми они работают на уроках, только своим представлением.

Подводя итог по проведенному проверочному занятию можно сказать, о том, что гипотеза подтвердилась - дети при решении предложенной им задачи использовали фигурные числа как способ (представление числа в виде эйдоса ими было переведено в способ).

Проводимая работа была направлена на построение диагностики предметных и образовательных эффектов факультативного курса “Пифагорейское учение о числе и величине”.

В процессе работы было выдвинуто несколько предположений, для подтверждения, которых были разработаны специальные задания.

Одно из предположений состоит в том, что факультативный курс “Пифагорейское учение о числе и величине” предоставляет детям новые ситуации для моделирования, учит выстраивать способ работы с фигурными числами в “общем случае”. Были разработаны задания, которые позволили проверить, действительно ли дети моделируют на новом материале. Проведенные проверочные занятия показали о том, что дети могут строить модели не только чисел, которые представлены как кратное отношение величин, но и чисел представленных через эйдос (объект моделирования и модель существенно отличаются). Дети способны выстраивать способ работы с фигурными числами в “общем случае”.

Следующее предположение заключается в том, что данный факультативный курс “Пифагорейское учение о числе и величине” позволяет исследовать, как дети соотносят числа представленные по-разному, а именно пифагорейские числа с числами, которые представлены как кратное отношение величин. Были разработаны и предложены для решения задания (задачи на перенос способа). Данные задания подразумевали решение задач с использованием фигурных чисел, при этом условия задач с ними никак не связаны. Проведенный эксперимент показал, что дети могут связывать разные представления числа для решения одной задачи. Представление числа в виде эйдоса детьми было переведено в способ.

Можно сделать вывод, что дети используют фигурные числа как способ решения задач, в том числе в тех задачах, где явно не сказано о каком представлении числа идет речь. Они понимают, что пифагорейские числа отличаются от чисел, с которыми они работают на уроках, только другим представлением.

Выдвинутая гипотеза получила подтверждение: за счет факультативного курса “Пифагорейское учение о числе и величине” дети научаются:1) выстраивать способ работы с фигурными числами в “общем случае”; 2) использовать фигурные числа как способ решения задач, в том числе в тех задачах, где явно не сказано о каком представлении числа идет речь.

Диагностика предметных и образовательных эффектов факультативного курса “Пифагорейское учение о числе и величине” была построена, цель дипломной работы достигнута.