Методика обучения студентов педагогических вузов теме: "Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник"
30: Если поменять местами точки внутри каждой пары, то сложное отношение не изменится: .
Доказательство: следует из свойства 20. . Свойство доказано.
40: .
Доказательства первого, второго
и третьего свойства предложить студентам на самостоятельное изучение.
Замечание. Пусть на прямой заданы точки , тогда
1) тогда и только тогда, когда точки
,
2) тогда и только тогда, когда точки
.
3. Теоремы о сложном отношении точек и прямых
Теорема 1. При любом проективном преобразовании плоскости сложное отношение четырех точек прямой сохраняется.
Доказательство. Пусть – проективное преобразование плоскости
, прямая
,
; точки
переходят в отображении
в точки
. Как мы знаем, сужение
есть проективное отображение
. Это отображение вполне определяется упорядоченной парой реперов
, где
,
. Если
– координаты точки
в репере
, то эти же координаты имеет точка
в репере
. Но
,
. Теорема доказана.
Следствие. При любом проективном отображении одной прямой на другую сложное отношение четырех точек сохраняется.
Теорема 2. Если биекция сохраняет сложное отношение любой четверки точек, то
– проективное отображение.
Доказательство. Пусть – различные точки прямой
и
их образы в отображении
. Существует единственной проективное отображение
, которое переводит точки
в точки
соответственно.
Если ,
и
, то по доказанному
.(3)
Если , то по условию
(4)
(3), (4)
и, значит, точки и
совпадают. Так как
, то такой вывод справедлив для любой точки
. Следовательно, данное нам отображение
совпадает с проективным отображением
. Теорема доказана.
Следствие. Биекция является проективным отображением тогда и только тогда, когда она сохраняет сложное отношение любой четверки точек.
Теорема 3. Пусть – четыре различные прямые пучка П(О), прямая
не проходит через точку
и
– точки пересечения этой прямой с прямыми
. Тогда сложное отношение
не зависит от выбора прямой
(оно называется сложным отношением
четырех названных прямых).
Рис. 2
Доказательство. Проведем еще какую-либо прямую , она пересекается с прямыми
в точках
соответственно (рис 2). Пучок П(О) устанавливает перспективное отображение
по закону:
. Так как это частный случай проективного отображения, то
. Теорема доказана.
Следствие. Биекция :П(
)
П(
) одного пучка на другой является проективным отображением тогда и только тогда, когда она сохраняет сложное отношение любой упорядоченной четверки прямых.
Другие рефераты на тему «Педагогика»:
- Воспитание гуманного отношения к животным у детей дошкольного возраста
- Советская школа и педагогика в 1946–1985 гг
- Методика преподавания темы "Информация. Информационные процессы и системы" в 9 классе общеобразовательной школы. Проблемный метод обучения
- Организация самостоятельной работы студентов
- Изучение креативности и стереотипности мышления школьников
Поиск рефератов
Последние рефераты раздела
- Тенденции развития системы высшего образования в Украине и за рубежом: основные направления
- Влияние здоровьесберегающего подхода в организации воспитательной работы на формирование валеологической грамотности младших школьников
- Характеристика компетенций бакалавров – психологов образования
- Коррекционная программа по снижению тревожности у детей младшего школьного возраста методом глинотерапии
- Формирование лексики у дошкольников с общим недоразвитием речи
- Роль наглядности в преподавании изобразительного искусства
- Активные методы теоретического обучения