Разработка методики обучения интегрального исчисления функции двух переменных

Интуиция представляет собой способность постижения истины путем прямого ее усмотрения без обоснования с помощью логически строгого доказательства (латинское слово intuitio означает «пристальное всматривание»). Таким образом, интуиция – это своего рода антипод, противовес логике и строгости.

Различают два вида интуиции в научном познании: интуицию–суждение и интуицию–догадку. Первая характер

изуется тем, что прямое усмотрение истины, объективной связи вещей осуществляется без логически строгого доказательства, и такого доказательства для данной истины не существует и не может существовать в принципе.

Интуиция–догадка – это прямое внелогическое усмотрение такого факта, который по прошествии определенного времени будет обоснован и доказан строго логическим путем. Способность к интуиции–догадке наиболее ярко проявляется в человеке при его занятиях математикой. Если эта способность оказывается развита в нем сильно, он становится выдающимся математиком.

Высокая степень развитости способности к интуиции–догадке характеризует интуицию открытия. Именно последняя движет вперед многочисленные научные области и, в первую очередь, математику. Менее развитая способность к интуиции–догадке характеризует интуицию узнавания. О ней писал Декарт в своих «Правилах для руководства ума»: «Всякий может интуитивно постичь умом, что он существует, что он мыслит, что треугольник ограничивается только тремя линиями, что шар имеет только одну поверхность, и подобные этим истины, гораздо более многочисленные, чем это замечает большинство людей вследствие того, что не считает достойными внимания такие простые вещи». Интуиция узнавания исключительно важна в процессе обучения математике. Более того, и обучение математике, в свою очередь, способствует развитию интуиции, которое может быть доведено до весьма высокого уровня. Я. Стюарт считает, что «главной целью подготовки математиков следовало бы сделать оттачивание их интуиции до такой степени, чтобы она превратилась в управляемое орудие исследования».

Логика и интуиция, являясь неотъемлемыми и неразделимыми компонентами математического творчества, призваны занять свое место и в математическом образовании. Обучение математике будет развивающим, если оно сумеет обеспечить такое их сочетание в учебном процессе, в котором они присутствуют в научном математическом поиске. К числу формально–логических относят следующие умения: умение определять понятие (через род и видовое отличие), умение классифицировать совокупности объектов (группировать объекты по заданному признаку, выделять признак, общий для данных объектов и т.п.), проводить дедуктивные рассуждения, опровергать общие утверждения с помощью примера, уметь выдерживать полноту дизъюнкций при переборах возможностей, формулировать гипотезы и ставить вопросы, проводить действия по алгоритму, составлять алгоритм деятельности. Среди компонентов интуитивного характера – зрительное угадывание закономерностей как на числовом материале, так и на геометрических чертежах, высказывание гипотез и проведение рассуждений по аналогии и по индукции, построение обобщений и конкретизаций.

В процессе обучения математике вопрос о взаимоотношении логики и интуиции встает особенно остро, когда приходится решать проблему уровня строгости преподавания того или иного ее раздела. Попробуем обсудить некоторые аспекты проблемы логической строгости в изложении математических курсов. Математика зарождается в определениях и развивается в теоремах. Поэтому рассмотрим вопрос о дидактически целесообразном соотношении логики и интуиции в выборе формулировок математических определений и доказательств теорем при изучении раздела математического анализа «Двойной интеграл» в педагогическом вузе.

Практика преподавания курса математики как в школе, так и в вузе показывает, что на окончательное формирование представления о некотором математическом понятии интуитивная деятельность учащихся оказывает не меньшее влияние, чем непосредственное изучение формального определения этого понятия.

Чтобы процесс формирования понятия шел у учащихся наиболее успешно, преподавателю необходимо выработать такое определение этого понятия, в котором дидактически целесообразно соотносились бы интуиция и логика. При этом по мере изучения предмета логическая строгость определений изучаемых понятий может усиливаться.

При изучении функций нескольких переменных в курсе математического анализа, их свойств, дифференцирования и интегрирования, используется метод аналогий с функцией одной переменной. В частности. Интеграл от функции двух переменных является прямым обобщением понятия простого определенного интеграла на случай плоской области. К моменту введения понятия двойного интеграла у студентов накопился достаточный опыт для адекватного восприятия вводимого понятия – опыт, содействующий пониманию всех слов, содержащихся в определении, на наглядно-интуитивном и рабочем уровнях. Перед формулировкой определения двойного интеграла рассматривается задача об объеме цилиндрического тела, вводятся понятия интегральной суммы, диаметра плоской области, делаются ссылки на аналогичные понятия для функции одной переменной, что значительно упрощает понимание вводимого определения.

Теперь обратимся к теоремам и их доказательствам. Теоремы составляют существо математической науки, а их доказательства образуют ее живую ткань. Теоремы, лишенные доказательства, безжизненны, мертвы. Поэтому изучать математику путем усвоения теорем без их доказательства бессмысленно. Понять структуру теоремы, метод ее доказательства и само доказательство помогает математическая логика. Доказательство теоремы, проведенное в полном соответствии с требованиями логики, и есть ее логически строгое доказательство.

Нестрогие доказательства должны возникать из строгих путем изъятия из них некоторых частей, которые при необходимости могут быть восстановлены самими учащимися или с помощью преподавателя. Например, не рассмотрены до конца все возможные случаи, при условии, что их рассмотрение происходит аналогично. Или дается лишь общая логическая схема доказательства без углубления в его детали. В самом крайнем случае может быть сообщена лишь общая идея доказательства, полная реализация которой потребует значительных усилий.

Изучение логически строгих математических доказательств составляет ту сторону математики, которая в большей степени развивает, нежели образовывает, воспитывает целеустремленность, волю, настойчивость, развивает культуру и мышление. Кроме того, строгие логические доказательства помогают глубже раскрыть смысл вводимых понятий, овладеть ими и правильно применять на практике, помогают установить логическую структуру всего математического курса и связи между отдельными его частями, что существенно облегчает его запоминание и усвоение по сравнению с лишенным внутренней логики рецептурным методом изложения. Логические доказательства помогают полнее овладеть математическими методами, выработать необходимые для их использования навыки, лучше осознать границы применимости этих методов.