Разработка методики обучения интегрального исчисления функции двух переменных
Определение и простейшие свойства двойного интеграла
Задача об объеме цилиндрического тела
Наподобие того, как задача о площади криволинейной трапеции приводит к понятию простого определенного интеграла, аналогичная задача об объеме цилиндрического бруса приводит к новому понятию – двойного (определенного) интеграла.
Рассмотрим тело , которое сверху ограничено поверхностью
, с боков – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси
, наконец, снизу – плоской фигурой
на плоскости
(рис. 14). Требуется найти объем
тела.
Для решения этой задачи прибегнем к обычному в интегральном исчислении приему, состоящему в разложении искомой величины на элементарные части, приближенному подсчету каждой части, суммированию и последующему предельному переходу. С этой целью разложим область сетью кривых на части
и рассмотрим ряд цилиндрических столбиков, которые имеют своими основаниями эти частичные области и в совокупности составляют данное тело.
Для подсчета объема отдельных столбиков возьмем произвольно в каждой фигуре по точке:
. Если приближенно принять каждый столбик за настоящий цилиндр с высотой, равной аппликате
, то объем отдельного столбика оказывается приближенно равным
,
где означает площадь плоской фигуры
. В таком случае приближенное выражение объема всего тела будет
Для повышения точности этого равенства будем уменьшать размеры площадок , увеличивая их число. В пределе, при стремлении к нулю l (наибольшего из диаметров всех областей
) это равенство делается точным, так что
,
и задача решена.
Предел этого вида и есть двойной интеграл от функции по области
; он обозначается символом
,
так что формула для объема принимает вид
.
Таким образом, двойной интеграл является прямым обобщением понятия простого определенного интеграла на случай функции двух переменных. Он играет важную роль также при определении различных геометрических и физических величин.
Понятие двойного интеграла
Введем понятие интегральной суммы для функции двух переменных , заданной в ограниченной области
. При этом данную функцию будем иногда называть функцией точки области
, отождествляя совокупность значений аргументов с той точкой, для которой эти значения служат координатами. Например, будем иногда писать
вместо
, если
,
– координаты точки
.
Для дальнейшего потребуется понятие диаметра области.
Определение 1. Диаметром замкнутой области называется наибольшее расстояние между двумя точками контура этой области или просто наибольшая хорда области
(рис. 15) .
Например, диаметром прямоугольника будет длина его диагонали; диаметром параллелограмма является длина его большей диагонали; диаметром эллипса служит длина его большой оси.
Пусть в квадратируемой области определена некоторая функция
. Разобьем область
произвольным образом сетью кривых на конечное число частей
, площади которых соответственно обозначим через
(рис. 16).
В каждой из частичных областей (
) возьмем произвольную точку
и составим сумму
,
которую будем называть интегральной суммой для функции в области
.
Обозначим через λ наибольший из диаметров частичных областей . Эту величину, характеризующую, насколько мелко разбита область
, иногда называют рангом произведенного разбиения.
Определение 2. Если интегральная сумма при
имеет определенный конечный предел
:
,
не зависящий ни от способа разбиения области , ни от выбора точек
в частичных областях, то этот предел называется двойным интегралом функции
по области
и обозначается символом
Другие рефераты на тему «Педагогика»:
- Ведущая деятельность в раннем возрасте
- Методика использования дидактических компьютерных игр во внеклассной работе по математике в 3 классе
- Организация музыкального воспитания умственно отсталых детей-сирот и детей, лишенных попечения родителей, в системе комплексной педагогической работы
- "Внешкольная" общественная деятельность учительства в социокультурной жизни провинции в СССР
- Детское движение в современном обществе
Поиск рефератов
Последние рефераты раздела
- Тенденции развития системы высшего образования в Украине и за рубежом: основные направления
- Влияние здоровьесберегающего подхода в организации воспитательной работы на формирование валеологической грамотности младших школьников
- Характеристика компетенций бакалавров – психологов образования
- Коррекционная программа по снижению тревожности у детей младшего школьного возраста методом глинотерапии
- Формирование лексики у дошкольников с общим недоразвитием речи
- Роль наглядности в преподавании изобразительного искусства
- Активные методы теоретического обучения