Разработка методики обучения интегрального исчисления функции двух переменных
,
откуда и следует выполнение необходимого и достаточного условия интегрируемости функции двух переменных. Этим интегрируемость функции доказана [1].
Основные свойства двойного интеграла
10. Если область , в которой задана непрерывная функция 57 height=25 src="images/referats/27477/image016.png">, непрерывной кривой разложена на две области и , то из интегрируемости функции во всей области следует ее интегрируемость в частичных областях и , и обратно – из интегрируемости функции в обеих областях и вытекает интегрируемость в области . При этом
. (1)
Доказательство. Разобьем области и на части. Это разбиение порождает разложение всей области на части, причем
(1*)
Так как непрерывна на , то она интегрируема на , и следовательно, существует предел от левой части выражения (1*), следовательно, будут существовать и пределы каждой части справа.
Перейдем к пределу при в выражении (1*) и получим формулу (1) [1].
20. Если умножить интегрируемую в области функциюна постоянную , то полученная функция также будет интегрируема в (Р), и при этом
Доказательство. Если перейти к пределу при в верном равенстве
, то получим нужную формулу [1].
30. Если в области интегрируемы функции и , то интегрируема и функция , причем
.
Доказательство. Свойство доказывается при предельном переходе при в верном равенстве
[1].
40. Если для интегрируемых в области функций и выполняется неравенство , то
Доказательство. Доказательство основано на предельном переходе при в верном неравенстве [1].
50. В случае интегрируемости функции в области (Р) интегрируема и функция , и имеет место неравенство
.
Доказательство. Пусть S' и s' верхняя и нижняя суммы Дарбу на области (Р) для функции |f (x, y)|, а S и s – верхняя и нижняя суммы Дарбу для функции f (x, y).
Составим разность S'-s' для функции |f (x, y)|:
,
так как .
При λ→0 разность S-s стремится к нулю, так как функция f (x, y) интегрируема на (Р) по условию, а, значит, и S'-s' стремится к нулю при λ→0 подавно.
Так как S'-s' стремится к нулю при λ→0, то функция |f (x, y)| интегрируема на (Р).
При λ→0 в очевидном неравенстве переходим к пределу и получаем формулу свойства [1].
Теорема о среднем значении
Теорема 1. Если функция интегрируема в замкнутой области (P) и выполняется неравенство , то:
1. Справедливо неравенство , где m, M – наименьшее и наибольшее значения функции в области (P), а P площадь области (P).
2. Существует такая точка с из отрезка , что выполняется:
Доказательство. 1. Первое утверждение теоремы получается при предельном переходе в двойном неравенстве
2. Пусть некоторая точка с имеет значение .
3. Разделим двойное неравенство пункта 1 на Р. Получим
4. С учетом пункта 2 из того, что следует, что и
[1].
Теорема 2. Если функция двух переменных непрерывна на замкнутой области (P), то существует такая точка , что будет выполняться:
Другие рефераты на тему «Педагогика»:
Поиск рефератов
Последние рефераты раздела
- Тенденции развития системы высшего образования в Украине и за рубежом: основные направления
- Влияние здоровьесберегающего подхода в организации воспитательной работы на формирование валеологической грамотности младших школьников
- Характеристика компетенций бакалавров – психологов образования
- Коррекционная программа по снижению тревожности у детей младшего школьного возраста методом глинотерапии
- Формирование лексики у дошкольников с общим недоразвитием речи
- Роль наглядности в преподавании изобразительного искусства
- Активные методы теоретического обучения