Разработка методики обучения интегрального исчисления функции двух переменных
Доказательство. Так как область (P) замкнута, то по теореме Вейерштрасса существуют наибольшее и наименьшее значения функции в области (P).
Пусть М – наибольшее значение функции , m – наименьш
ее значение функции в области (P).
Из теоремы 1 следует, что
Тогда по теореме Больцано-Коши непрерывная функция проходит через все промежуточные значения.
Значит, в области (P) существует точка такая, что .
Поэтому в соответствии с теоремой 1 получаем:
[1].
2.2 Вычисление двойного интеграла
Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием в случае прямоугольной области
Сначала рассмотрим двойной интеграл по некоторому прямоугольнику со сторонами, параллельными осям координат [1].
Теорема. Если для функции , определенной в прямоугольнике , существует двойной интеграл
и при каждом постоянном значении из существует определенный интеграл
,
то существует также повторный интеграл
,
и выполняется равенство
.
Доказательство. Изобразим область (рис. 17).
Разобьем отрезки и соответственно на и частичных отрезков
,
.
Тогда область разобьется на nk частичных прямоугольников.
Частичный прямоугольник определяется так:
.
Пусть
Обозначим через точную нижнюю и точную верхнюю грани функции в частичном прямоугольнике .
Тогда в каждом частичном прямоугольнике будет выполняться неравенство:
.
Выберем произвольно точку .
Проинтегрируем по y на частичном отрезке неравенство
.
Получим: , что равносильно
Суммируя последнее неравенство по всем , получим:
.
Так как по условию теоремы существует определенный интеграл
, то (2)
Пусть λ→0 (где λ–наибольший диаметр частичного прямоугольника ), тогда .
Крайние члены двойного неравенства (2) представляют собой верхнюю и нижнюю суммы Дарбу, а значит, они стремятся к двойному интегралу.
Таким образом, должен существовать предел от средней части двойного неравенства и он равен следующему двойному интегралу:
или .
Но по условию теоремы
[1].
Замечание. Если переменную х поменять на у в рассмотренной теореме, то будет доказано существование повторного интеграла
и справедливость формулы [1].
Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием в случае криволинейной области
Теорема. Если для функции , определенной в области , ограниченной снизу и сверху двумя непрерывными кривыми:
,
а с боков – двумя ординатами: и , существует двойной интеграл
и при каждом постоянном значении из существует определенный интеграл
,
то существует также повторный интеграл
и выполняется равенство
[1].
Доказательство. Изобразим область (рис. 18).
Пусть .
Заключим область в прямоугольник , где
Другие рефераты на тему «Педагогика»:
- Организация деятельности преподавателя психологии
- Значение музыкального воспитания в семье
- Методика развития музыкального воспитания детей старшего дошкольного возраста
- Содержание, организационные формы и методы совместной работы образовательного учреждения и семьи по воспитанию детей
- Обучение чтению на иностранном языке в начальной школе
Поиск рефератов
Последние рефераты раздела
- Тенденции развития системы высшего образования в Украине и за рубежом: основные направления
- Влияние здоровьесберегающего подхода в организации воспитательной работы на формирование валеологической грамотности младших школьников
- Характеристика компетенций бакалавров – психологов образования
- Коррекционная программа по снижению тревожности у детей младшего школьного возраста методом глинотерапии
- Формирование лексики у дошкольников с общим недоразвитием речи
- Роль наглядности в преподавании изобразительного искусства
- Активные методы теоретического обучения