Разработка методики обучения интегрального исчисления функции двух переменных
Будем предполагать, что функции и не только непрерывны в соответствующих областях, но и имеют непрерывные частные производные (первого порядка) , что частные производные второго порядка (смешанные) width=123 height=25 src="images/referats/27477/image223.png">непрерывны на области , что функциональный определитель (равный якобиану поля Т) отличен от нуля всюду на области .
Значит, определитель – непрерывен на области , так как состоит из непрерывных функций и сохраняет постоянный знак [1].
Если взять в области простую кусочно-гладкую кривую , то с помощью преобразования она перейдет в подобную же кривую в области [1].
Теорема. Пусть Т – преобразование области в область . Тогда кусочно-гладкая кривая, принадлежащая области , перейдет в кусочно-гладкую кривую, принадлежащую области [1].
Доказательство. Ограничимся гладким куском кривой, так как для кусочно-гладкой кривой доказательство будет аналогичным.
Пусть уравнения кривой будут:
,
причем так как кривая гладкая, можно функции считать имеющими непрерывные производные на отрезке , не обращающиеся одновременно в ноль.
Подставляя эти функции в формулы преобразования (3), получим параметрические уравнения соответствующей кривой :
.
Легко видеть, что эти функции также имеют непрерывные производные:, (так как непрерывны на ), которые к тому же не могут одновременно обратиться в ноль. Следовательно, кривая – гладкая кривая [1].
Криволинейная система координат
Преобразования областей для удобства трактуют как переход от прямоугольной декартовой системы координат к криволинейной системе координат [42].
Пусть поле преобразует область плоскости в область плоскости .
Координатная сетка в плоскости наводит координатную сеть в области : . Координатные линии параллельны осям и .
При преобразовании эти прямые (частный случай гладкой кривой) переходят в гладкие кривые в области (в соответствии с доказанной в предыдущем пункте теоремой).
Они образуют сеть гладких кривых в области и называются криволинейными координатными линиями (координатные прямые области порождают координатные кривые области ) [42].
Так как поле взаимно однозначно, то через каждую точку проходят только две координатные криволинейные линии, которые являются образами линий .
Эти координатные кривые линии сопоставляют точке с координатами два числа , которые называются криволинейными координатами точки . Криволинейные координаты точки связаны с прямоугольной декартовой системой координат прямыми уравнениями и обратными уравнениями .
Полагая в (4) , получим параметрическое представление координатной линии:
(роль параметра здесь играет ). Неявное уравнение той же линии получим, полагая во втором из уравнений (4).
Аналогично при , получим следующее параметрическое представление координатной линии:
Имея криволинейные координаты , можно трактовать преобразование областей как переход в от криволинейных координат к прямоугольной декартовой системе координат .
Другие рефераты на тему «Педагогика»:
Поиск рефератов
Последние рефераты раздела
- Тенденции развития системы высшего образования в Украине и за рубежом: основные направления
- Влияние здоровьесберегающего подхода в организации воспитательной работы на формирование валеологической грамотности младших школьников
- Характеристика компетенций бакалавров – психологов образования
- Коррекционная программа по снижению тревожности у детей младшего школьного возраста методом глинотерапии
- Формирование лексики у дошкольников с общим недоразвитием речи
- Роль наглядности в преподавании изобразительного искусства
- Активные методы теоретического обучения