Математические методы экономических исследований

aN (N+r-1)b или .

Таким образом, если к правой части соотношения добавим 1, то оно будет тождественно равно правой части соотношения . То

есть прибавление 1 к правой части соотношения приводит его к соотношению – смысл неравенства меняется на противоположный. Это и требовалось доказать.

Очевидным является то, что N есть целое число. Следовательно, если от правой части в соотношении (10.2) взять целую часть и добавить к ней 1, то, исходя из предыдущих рассуждений, получим для вычисления N выражение (10.1).

Аналогичными рассуждениями и используя (10.1) можно найти, что для вычисления времени, которое необходимо для обслуживания всех ожидающих требований, справедлива формула:

. (10.3)

В теории очередей важной функцией является функция времени ожидания обслуживания. Обозначим ее через W(t). Определим W(t) как время, которое необходимо затратить на ожидание обслуживания требования, поступившего в момент времени t (считаем, что t = 0 соответствует началу процесса обслуживания).

Определим формулу для W(t). Легко видеть, что требование, поступившее на обслуживание в момент t ³ T-b (величина T определяется с использованием формулы (10.3)), найдет систему обслуживания пустой или только что освободившейся. Такому требованию не придется стоять в очереди. Требование, поступившее в момент времени t£T-b, найдет впереди себя требований, стоящих в очереди, причем первое из них в этот же момент поступит на обслуживающее устройство. Эта величина получается следующим образом:

(начальная (число требований, обслужен- (число поступ-

очередь) - ных к моменту времени t) + лений)

r - + .

Таким образом, время ожидания W(t) для рассматриваемого требования может быть выражено формулой:

. (10.4)

Рассмотрим i-е требование в начальной очереди (0 <i £ r), тогда впереди его будет (i - 1) требований, для обслуживания которых потребуется (i - 1)b единиц времени.

Обобщая полученные результаты относительно функции W(t), получим для нее следующее выражение:

,

где i - номер i-го требования в начальной очереди; требования поступают в моменты времени a, 2a, .; b = na (n = 1, 2, .).

Тема 11. Управление запасами

1. Понятие задачи управления запасами.

2. Основная задача управления запасами.

3. Управление запасами в условиях производственных поставок.

4. Управление запасами в условиях дефицита.

Краткое содержание темы

Класс задач по управлению запасами является достаточно специфичным как по разнообразию постановки задач, так и по методам их решения. Здесь успешно применяются методы линейного и динамического программирования, методы теории массового обслуживания и многие другие. В данном разделе рассматриваются простые методы математического анализа для решения задач управления запасами.

Предприятия в процессе своей деятельности делают различные запасы. Запасы - это совокупность предметов (товаров), представляющих собой временно неиспользуемые экономические ресурсы.

Причины создания запасов могут быть различными.

Если в нужный момент производства необходимые материалы или товары не поступают от поставщиков и их нет на складе в запасе (т.е. имеет место дефицит), процесс производства может задержаться или совсем остановиться. Однако, если запасы достаточно велики, то возрастает плата за них и за их хранение.

Таким образом, возникает задача управления запасами, т.е. необходимо выбрать некоторое компромиссное решение по созданию запасов или выработать стратегию управления запасами.

Основные типы принимаемых решений по управлению запасами следующие:

1. Определить какое, количество товара должно быть в запасе.

2. Определить, в какое время необходимо производить пополнение запасов.

В настоящее время существует множество подходов к решению подобного рода задач.

Рассмотрим три простейшие математические модели, включающие:

а) основную модель управления запасами - определение оптимального размера партии;

б) модель производственных поставок;

в) модель, учитывающую штрафы.

Итак, предмет изучения - количество D запаса на складе и время t, для которого рассматривается этот запас, т.е. исследуется функция D = f(t), соответствующая величине запаса в момент времени t. График такой функции называется графиком изменения запаса.

По поводу изменения функции запасов сделаем следующие предположения:

1 .При наличии заявки на товар, он отпускается и D уменьшается. Величина спроса непрерывна во времени.

2. Если D = 0, то имеет место дефицит товара.

3. При поступлении товаров на склад (запасы пополняются) и D увеличивается. Пусть сначала пополнение запасов будет мгновенным, затем допустим, что пополнение идет непрерывно, в течение некоторого интервала времени.

Издержки, связанные с запасами, можно представить следующим образом:

Организационные издержки - расходы, связанные с оформлением и доставкой товаров, необходимые для каждого цикла складирования. Это подготовительно-заключительные операции при поступлении товаров и подаче заявок.

Если запасы нужно пополнить, то на склад завозится очередная партия. Издержки на поставку - организационные издержки.

Количество товаров, поставляемое на склад, - размер партии товаров.

Издержки содержания запасов - затраты, связанные с хранением. Расходы этого рода возникают из-за ренты складирования и амортизации в процессе хранения (товары могут портиться, устаревать, их количество может уменьшаться и т.п.).

Издержки, связанные с дефицитом (штрафы). Если поставка со склада не может быть выполнена, то возникают дополнительные издержки, связанные с отказом. Это может быть реальный денежный штраф, уплачиваемый лицу, делающему заявку на товар, или ущерб, не осязаемый непосредственно (ухудшение бизнеса в будущем, потеря потребителей).

Математическая модель должна учитывать все эти издержки, и цель моделирования заключается в том, чтобы найти такую стратегию управления запасами, при которой суммарные издержки, связанные с запасами, сводились бы к минимальным.

Основная задача

Итак, имеем следующую таблицу параметров модели и предположения (допущения) по изменению их величин.

 Скачать реферат