Физика разрушения горных пород при бурении нефтяных и газовых скважин

si = [ 3I2(Tнд) ]0,5, (1)

– интенсивность касательных напряжений

ti = [ I2(Tнд) ]0,5. (2)

Через главные нормальные напряжения величины i, i выражаются следующим образом:

si = [(s1  s2)2 + (s2  s3)2 + (s3  s1)2]0.5 / 20.5 ;

ti = [(s1  s2)2 + (s2  s3)2 + (s3  s1)2]0.5 / 60.5 .

Напряженное состояние в любой точ

ке деформируемого тела определено, если в любой точке этого тела известны значения среднего нормального напряжениясри интенсивности касательного напряженияi.

2.1.2 Вектор перемещения и деформированное состояние в «точке» Приложение к твердому телу напряжений и его деформирование приводит к возникновению в теле поля перемещений: каждая точка тела перемещается из одного положения в другое. Такое перемещение точки под действием сил из начального положения в конечное характеризуется вектором перемещения (вектором деформации)U. В вектор-ном виде вектор деформации представим следующим образом:

U = r' – r,

где r',r – радиус-векторы, характеризующие положение рассматриваемой точки после и до приложения сил, соответственно. Вектор U имеет следующие проекции на оси координат X,Y,Z, соответственно:u,v,w.

Полное перемещение деформируемых точек в трехмерном пространстве определяется формулой

d = (u2 + v2 + w2)0,5

и является непрерывной функцией координат.

Деформированное состояние в «точке», также как и напряженное состояние, описывается тензором, отвечающим за изменение геометрии рассматриваемой «точки»: изменение её объёма и формы.

Представим «точку» в виде элементарного куба. Рассмотрим одну грань куба, лежащую в плоскости YX (рис. 3). До механического нагружения «точки» грань куба ОАБС имеет следующие размеры: ОА = Дy, ОС = Дx. После деформации отрезки ОА, ОС изменят не только свои размеры, но и направления. По этой причине деформация «точки» слагается из линейных (x, y, z) и сдвиговых (угловых) (xy,xz, yx,yz, zx, zy) деформаций. Соответственно этому и тензор деформаций состоит из линейных и сдвиговых компонент:

.

Деформация, соответствующая нормальным напряжениям тензора напряжения, выражается через относительное изменение линейного размера тела l. Линейная деформация может быть абсолютной и в этом случае она определяется формулой (lк – lн) = Дl, где lк – линейный размер тела после деформирования, lн – начальный линейный размер тела, и относительной

e = Dl / l.

Рис.3. Пример векторов перемещения и физический смысл компонент тензора

Принято считать относительную линейную деформацию положительной, если она происходит при сжатии тела, и отрицательной - при растяжении тела.

Линейная относительная деформация, происходящая по направлению действия силы, называется продольной, а перпендикулярно действию силы – поперечной.

Сторона ОС деформируемой «точки» кубика преобразуется в отрезок ОС1, проекция которого на ось X равна величине (x + u), где u = (du/dx)x, x >> u. Отсюда следует, что относительная линейная деформация отрезка ОС, измеряемая в направлении оси X, определится следующим выражением

ex = {Dx  [Dx + (Du)]} / Dx = du/dx.

Числитель в написанной формуле обозначает абсолютную деформацию стороны ОС куба. Знак «минус» перед величиной Дu обозначает, что рассматривается деформация растяжения тела (при сжатии тела в этой формуле берется знак «плюс»).

Линейная относительная деформация элементарного куба в направлении осей Y, Z обозначаются аналогичным образом: y, z. Величина этих деформаций выражается через компоненты вектора перемещения v, w:

ey = dv/dy, ez = dw/dz,

Угловые (сдвиговые) деформации в теле возникают при действии касательных напряжений. Сдвиговая деформация физически представляет собой величину изменения прямого угла между гранями элементарного куба при его деформировании. Если рассмотреть, например, одну грань куба, находящуюся в плоскости YX (рис. 3), то величина угла, определяющего отклонение направления отрезка ОС1 от его первоначального направления ОС, определится проекциями Дu и Дv

tg a = Dv / (Dx + Du) » dv/dx,

т.е. угловая деформация xy выражается как градиент смещения

gxy = dv/dx.

(Первая буква индекса обозначает ось, от которой происходит движение, вторая буква – к какой оси осуществляется поворот).

Угол характеризует изменение направления отрезка ОА. Величина угла  определяет угловую деформацию yx и выражается через проекции отрезка ОА1 на оси X (проекция u) и Y (проекция v):

gyx = tg b = Du / (Dy + Dv) » du/dy.

Суммарное изменение первоначально прямого угла между отрезками ОС и ОА определяется углом y = a + b. Совместное искажение первоначально прямых углов описывается суммой

tg a + tg b » tg(a+b) = tg y = dv/dx + du/dy

 gxy = gyx = tg(a+b)/2 = y/2.

Если появление очень малых углов  и  интерпретировать как вращение тела, то угол поворота каждой из рассматриваемых сторон будет равен величине  / 2. Связь между компонентами вектора смещения и компонентами тензора деформации определяется геометрическими уравнениями (уравнения Коши):

ex = du/dx; ey = dv/dy; ez = dw/dz;

gxz = dw/dx + du/dz; gxy = dv/dx + du/dy; gyz = dw/dy + dv/dz .

Физический смысл геометрических уравнений (уравнений Коши) заключается в том, что деформируемое тело является сплошным до, во время и после деформирования. Другими словами, деформирование тела происходит без разрыва вектора перемещенияU и, естественно, без разрыва его проекций u,v,w на оси координат.

Тензор деформации Tд , так же как тензор напряжений, имеет три инварианта I1(Tд), I2(Tд), I3(Tд), аналогичные по строению инвариантам тензора напряжений:

I1(Tд) = ex + ey + ez;

I2(T) = ex.ey + ey.ez + ez.ex - gxy2 - gxz2 - gyz2;

.

Тензору напряжений, выраженному через главные нормальные напряжения 1, 2, 3 , соответствует тензор деформации Tд вида

,

где e1, e2, e3 – есть главные линейные деформации; своим появлением они обязаны действию главных нормальных напряжений.

 Скачать реферат