Физика разрушения горных пород при бурении нефтяных и газовых скважин

Разности g1 = e2  e3 , g2 = e3  e1, g3 = e1  e2 определяют величину главных сдвигов.

Как и в случае с тензором напряженного состояния, тензор деформации можно разложить на два тензора, отвечающих за изменение объёма и формы «точки»:

Tд = TдШ + TдД,

где TдШ – шаровой тензор, имеющий вид:

5 height=105 src="images/referats/10700/image015.png">

TдД – тензор-девиатор, имеющий вид:

где e = (ez+ ey+ ex) /3 – средняя линейная относительная деформация.

Шаровый тензор определяет изменение объема «точки», а тензор-девиатор отвечает за изменение формы «точки».

Величина

ev = ez + ey + ex

характеризует относительное изменение объёма ДV/V элементарного куба, «точки». Этот вывод следует из следующего мысленного опыта. Если к «точке», имеющей форму куба, приложить три взаимно равных сжимающих напряжения, то «точка» будет находиться в состоянии гидростатического сжатия: P = x = y = z, а касательные напряжения в ней будут равны нулю. Приложенные нормальные напряжения вызовут укорочение ребер куба, а значит и уменьшение его объёма. Если первоначальную длину ребра куба принять равной единице, то относительное изменение объёма такого куба v будет равно следующей величине:

ev = DV/V = [( ) - ( )] / ( ) =

[1  (1  ex)(1  ey)(1  ez)] / 1.

Если не принимать во внимание величины второго и третьего порядка малости (т.е. произведения типа ezey, exezey), то легко получается окончательная формула

ev = ez + ey + ex.

Разделив правую и левую части этого равенства на число 3, получим связь между средней линейной относительной деформацией и относительной объемной деформацией

e = ev / 3.

Первый инвариант тензора девиатора, т.е. величина

ex  e + ey e + ez e

тождественно равна нулю. Физически это означает, что сумма диагональных напряжений тензора девиатора не вызывает изменения объёма деформируемой точки.

Шаровой тензор деформаций Tдш, выраженный через главные линейные деформации, имеет вид:

,

где e = (e1 + e2 + e3) / 3 , а тензор-девиатор Tдд деформаций задается матрицей следующего содержания:

.

В механике сплошной среды (в теории пластичности) большое значение имеет второй инвариант девиатора деформаций

I2(T) = [(e1  e2)2 + (e2  e3)2 + (e3  e1)2] / 6,

который является суммарной характеристикой изменения формы деформируемого тела. Через второй инвариант девиатора деформаций I2(Tдд) выражаются интенсивность линейных деформаций i и интенсивность деформаций сдвига i:

ei = ;

gi = .

Через главные линейные деформации приведенные величины выражаются следующим образом:

ei = 20,5[ (e1  e2)2 + (e2  e3)2 + (e3  e1)2 ]0.5 / 3 , (3)

gi = (2/3)0,5 [ (e1  e2)2 + (e2  e3)2 + (e3  e1)2 ]0.5. (4)

Резюме: Деформация тела заключается в изменении формы, вызванном действием касательных напряжений, и в изменении объёма под действием всестороннего давления.

Такое разделение имеет важное значение при анализе законномерностей деформирования, т.к. эти виды деформаций описываются разными законами. С этими законами мы познакомимся в третьем разделе пособия. Здесь же отметим, что, например, и у упругих и у вязких тел объёмная деформация описывается одним уравнением: объёмная деформация прямо пропорциональна всестороннему давлению. А вот сопротивление формоизменению у этих тел резко отличается: если у упругих тел форма изменяется пропорционально напряжению сдвига, то вязкие тела вообще не могут сохранять форму и сопротивляться сдвигу.

2.2 Инвариантные соотношения для напряжений и деформацийпри различных напряженных состояниях

При изучении напряженно-деформированного состояния тела используют не сами тензоры, а их инварианты.

С помощью главных нормальных напряжений 1 >2 >3 можно задать различные напряженные состояния, при которых определяют прочность тел:

1. Одноосное сжатие

s1 > 0, s2 = s3 = 0  e1 > 0, e2 = e3 =  ne1,

где  – коэффициент поперечной деформации.

2. Одноосное растяжение

s1 = s2 = 0, s3 < 0  e1 = e2 =  ne3.

3. Чистый сдвиг

s1 =  s3 = t, s2 = 0  e1 =  e3 = g/2, e2 = 0.

4. Осесимметричное трехосное сжатие (нагружение Кармана)

s1 > s2 = s3 > 0 e1 > 0, e2 = e3 < 0.

5. Радиальное сжатие (нагружение Бёкера)

s1 = s2 > s3 > 0  e1 = e2 > 0, e3 < 0.

6. Всестороннее равномерное сжатие

s1 = s2 = s3 = P e1 = e2 = e3 = eV/3.

7. Сжатие без возможного бокового расширения (компрессия)

s1 > 0, s2 = s3 = s1n/(1n)  e1 > 0, e2 = e3 = 0.

8. Трехосное неравнокомпонентное сжатие

s1 ¹ s2 ¹ s3 > 0  e1 ¹ e2 ¹ e3 > 0.

Подставив в выражения (1 – 4) для величин si, ti, ei, gI , приведенные выше значения главных нормальных напряжений и главных линейных деформаций, получим значения этих обобщенных напряжений, описывающих перечисленные напряженные состояния (табл. 2, 3).

В качестве примера определим значения обобщенных напряжений для чистого сдвига:

1. Второй инвариант тензора-девиатора напряжений

I2(T) = [(s1  s2)2 + (s2  s3)2 + (s1  s3)2] / 6 =

= [( s3)2 + (s3)2 + ( s3  s3)2] / 6 = s32 = t2.

2. Интенсивность нормальных напряжений

 Скачать реферат