Физика разрушения горных пород при бурении нефтяных и газовых скважин

Sx = nx.sx + ny.txy + nz.txz;

Sy = nx.tyx + ny.sy + nz.tyz;

Sz = nx.tzx + ny.tzy + nz.sz.

Здесь nx, ny, nz есть единичные вектора, направленные вдоль соответствующих осей координат, sx, sy, sz – нормальные напряжения, txy, tyz, tyz, tzx, tzy – касательные напряжения.

Из рис. 2 можно выяснить направление действия составляющих напряжений и порядо

к формирования нижних индексов: sx, sy , sz – нормальные напряжения, действующие на площадках Дx, Дy, Дz, перпендикулярных соответствующим координатным осям. Первый индекс в обозначении касательного напряжения указывает на принадлежность к соответствующей площадке, а второй - направление действия напряжения. Например, напряжение tzy действует на площадке Дz и направлено параллельно оси Y.

Рис. 2. Физический смысл компонент тензора напряжений

Суммарное действие составляющих напряжений x, y, z определяет величину модуля вектора напряжений и направление его действия

S = (Sx2 + Sy2 + Sz2)0.5;

S = nx.Sx + ny.Sy + nz.Sz.

Девять составляющих напряжений определяет тензор напряжений Tн, который имеет вид матрицы



.

Между касательными напряжениями выполняются следующие равенства:

txy = tyx ; tzx = txz ; tyz = tzy .

Нормальные составляющие напряжения стремятся сократить (при сжатии), либо увеличить (при растяжении) линейные размеры деформируемого тела (стремятся изменить объем «точки», всего тела), касательные же составляющие напряжения стремятся сместить одну часть тела относительно другой (стремятся вызвать изменение формы «точки», тела), произвести сдвиговое разрушение тела.

Напряженное состояние в «точке» определено, если известны компоненты тензора напряжений.

Тензор напряжений имеет следующие инварианты (invarient – неизменный), т.е. такие алгебраические комбинации компонентов, которые не меняют своих значений при повороте осей тензора (осей координат):

I1(T) = sx + sy + sz;

I2(T) = sx.sy + sy.sz + sz.sx - txy2 - txz2 - tyz2;

.

Величина

s = I1(T)/3 = (sx + sy + sz) / 3

определяет среднее нормальное (гидростатическое) напряжение в «точке» и вызывает изменение объёма этой «точки».

Напряженное состояние в «точке» можно представить в виде суммы двух напряженных состояний, описываемых шаровым тензором и тензором-девиатором:

Tн = Tнш + Tнд.

Шаровым тензором называется тензор вида

,

он вызывает изменение только объёма «точки».

Тензор-девиатор Tнд определяет величину отклонения от гидростатического состояния и имеет следующие компоненты:

.

Легко убедиться в том, что первый инвариант тензора-девиатора равен нулю:

(sx  s) + (sy  s) + (sz  s) = 0.

Это означает, что объёмные деформации, вызываемые тензором-девиатором, равны нулю. Касательные напряжения тензора-девиатора вызывают изменения формы «точки».

Произвольное напряженное состояние, в котором находится тело, можно представить в виде суммы двух напряженных состояний: первое представляет собой гидростатическое сжатие тела напряжением ср , а второе напряженное состояние наложено на первое и представляет собой состояние сдвига, обеспечиваемое тензором-девиатором напряжений.

Напряженное состояние в точке определено, если известны компоненты тензора напряжений Tнш и тензора-девиатора напряжений Tнд.

В механике сплошной среды показывается, что любой тензор напряжений может быть приведен к самому простому виду:

где s1, s2, s3 – главные нормальные напряжения. Они перпендикулярны друг другу и между ними выполняется неравенство s1 > s2 > s3.

Шаровой тензор напряжений и тензор-девиатор напряжений, выраженные через главные нормальные напряжения, имеют вид:

,

 s = (s1 + s2 + s3) / 3 и

.

Главные касательные напряжения тензора напряжений Tн выражаются через главные нормальные напряжения

t1 = (s2  s3) / 2, t2 = (s1  s3) / 2, t3 = (s1  s2) / 2,

векторы которых лежат на трех парах взаимно перпендикулярных плоскостей, делящих пополам углы между главными осями тензора напряжений.

Величина главных касательных напряжений тензора напряжений Tн совпадает с величиной главных касательных напряжений тензора-девиатора напряжений Tнд. В справедливости этого легко убедиться, выразив главные касательные напряжения тензора-девиатора через главные нормальные напряжения s1 - s, s2 - s, s3 - s:

t1 = [(s2  s) - (s3  s)] / 2 = (s2  s3)/2 = t1;

t2 = [(s1  s) - (s3  s)] / 2 = (s1  s3)/2 = t2;

t3 = [(s1  s) - (s2  s)] / 2 = (s1  s2)/2 = t3.

В механике сплошной среды большую роль играет первый инвариант тензора напряжений I1(Tн) и второй инвариант девиатора напряжений I2(Tнд). Через главные нормальные напряжения они имеют следующий вид:

I1(T) = (s1 + s2 + s3);

I2(T) = [(s1  s2)2 + (s2  s3)2 + (s1  s3)2] / 6.

Через второй инвариант девиатора напряжений вводится понятие интенсивности напряжений:

– интенсивность нормальных напряжений



 Скачать реферат