Использование средств ИКТ для повышения степени наглядности при изучении нового материала в курсе геометрии

Рис.4. Классификация четырехугольников

Специфические особенности преподавания геометрии: содержательные и методические аспекты

Преподавание геометрии в школе способствует достижению тех целей, которые стоят перед всеми математическими дисциплинами. Однако геометрия имеет свои особенности, чем и определяются за

дачи, возникающие перед учителем при обучении школьников. В пояснительной записке к программе по геометрии, утвержденной ещё в 1960 году, сказано: «Целью изучения геометрии является ознакомление со свойствами фигур на плоскости, развитие пространственных представлений и пространственного воображения. Одновременно с этим должны приобретаться практические навыки и умения, куда относится умение выполнять измерения и решать различные геометрические задачи, включая задачи практического содержания» [1].

В то же время при изучении геометрии ученики должны овладеть умением логически обосновать, что многие зависимости, обнаруженные путем рассмотрения отдельных частных случаев, имеют общее значение и распространяются на все фигуры определенного вида, а кроме того, выработать потребность в логическом обосновании зависимостей.

В пояснительной записке к программе по математике указывается: «В процессе преподавания математики необходимо проводить систематическую и целенаправленную работу по развитию логического мышления учащихся» [1]. Это указание особенно важно осуществлять в преподавании геометрии, которая дает богатые возможности для такой работы.

Цели, положенные в основу преподавания какого-либо предмета, определяют в значительной мере содержание и построение школьного курса, а также и методику его преподавания.

В настоящее время научный курс геометрии является строго дедуктивным. В его основу положена некоторая система аксиом и определенное число основных, или первоначальных, понятий. Содержание этих понятий раскрывается в аксиомах. Все дальнейшее изложение курса осуществляется чисто логическим путем: каждому вновь вводимому понятию дается определение, каждое новое предложение доказывается, то есть логически выводится на основании аксиом, ранее доказанных теорем и определений. В таком курсе нигде не обращаются к опыту или непосредственной очевидности.

Понимание такого строго аксиоматически построенного курса требует от человека высокого логического развития и поэтому ясно, что преподавание чисто дедуктивного, или аксиоматического, курса геометрии не может быть осуществлено в средней школе.

С современной научной точки зрения курс геометрии Евклида уже не является безупречным, так как в нем не дается перечисления всех аксиом, необходимых для его обоснования, и в некоторых случаях используется очевидность. Небезупречны некоторые определения, данные Евклидом, так как он не вводит основных понятий, считая, что всякое понятие должно быть определено. Все же построение геометрии и на этом уровне строгости дает стройную систему и может дать представление о логической зависимости одних геометрических фактов от других.

Школьный курс геометрии, сложившийся под влиянием «Начал» Евклида, претерпевая значительные изменения как в отношении объема даваемого в нем материала, так и в отношении расположения отдельных тем, сохранил в основном тот же дедуктивный характер. Если рассмотреть распространенные учебники геометрии для средней школы XIX и начала XX в. (русские и иностранные), то мы найдем в них следующие общие черты: материал располагается в систематическом порядке, в таком, чтобы следующие предложения могли быть логически выведены из предыдущих; даются понятия аксиомы и теоремы; излагаются дедуктивные доказательства теорем, однако не вводится система аксиом и некоторые геометрические факты принимаются без доказательства как очевидные. Так, например, при доказательстве теоремы о том, что диагонали параллелограмма делятся в точке пересечения пополам, само существование точки пересечения не обосновывается; также считается очевидным, что прямая, проходящая через две точки, из которых одна лежит вне круга, а другая внутри круга, пересечет окружность и т. д.

Определения понятий даются, но эти определения в некоторых случаях не являются логически строгими, представляя собой описания. Такой курс геометрии называют обычно «систематическим» курсом, противопоставляя его курсу наглядной геометрии, называемому «пропедевтическим».

Система построения курса планиметрии может быть различна. Учителю необходимо знать различные учебные пособия, познакомиться с последовательностью изложения материала в каждом из них, с применяемыми способами обоснований геометрических зависимостей, выяснить достоинства и недостатки каждого способа построения.

Выше было показано, что школьный систематический курс геометрии не может быть строго логическим. Выясним, какие же требования могут быть предъявлены к построению систематического курса для школы.

Прежде всего, в какой мере может быть осуществлен принцип научности? Очевидно, что, хотя допустимо установить какое-нибудь положение без доказательства, никогда нельзя давать недоброкачественные, то есть неверные, доказательства. Если мы хотим, чтобы ученики в результате обучения геометрии усвоили логическую зависимость между установленными предложениями, расположение материала должно позволять логически обосновать последующие предложения при помощи предыдущих.

С другой стороны, педагогический принцип доступности требует, чтобы логическое содержание курса усложнялось постепенно. Два указанных требования нередко находятся в противоречии друг с другом. Можно подобрать упражнения в порядке возрастающей трудности, но соблюсти тот же принцип в расположении теорем какого-либо раздела нельзя, не нарушив их логической зависимости. Известно, что геометрические образы в теме «Четырехугольники» более наглядны и доказательство большинства теорем этой темы доступнее для учащихся, чем содержащиеся в теме «Параллельность», изучаемой в 7 классе. Однако эти темы переставить нельзя, так как и для определения многих видов четырехугольника, и для доказательства многих теорем приходится ссылаться на параллельность прямых.

При выборе порядка изложения геометрического материала следует учитывать еще одно педагогическое требование: принцип систематичности. Учащиеся легче воспримут и усвоят материал, если им будет понятна его последовательность. Этого нельзя достигнуть, соблюдая только последовательность, вытекающую из возможности логического обоснования каждого вводимого предложения. Какая-нибудь новая теорема может быть логически доказана в данном месте курса, но если ее появление: для учащихся ничем не обусловлено, то они воспринимают ее - формально. Известно, что если внимание ученика как бы перебрасывается от одного вопроса к другому, между которыми он не находит внутренней связи, то даже если он поймет приводимые доказательства, усвоение материала не будет прочным. Если ученик не воспринял системы изложения, то он легко забывает и логические связи между отдельными предложениями. Учителям хорошо известно, что при повторении пройденного ученики нередко доказывают какую-либо теорему на основании предложения, являющегося ее следствием.