Использование средств ИКТ для повышения степени наглядности при изучении нового материала в курсе геометрии

Выполнив построение, ученик должен доказать, что построенный четырехугольник – параллелограмм. Это приводит к теореме, являющейся обратной теореме о свойствах диагоналей.

2) Предложить составить теорему, обратную какой-либо теореме о свойствах параллелограмма, и выяснить справедлива ли она, то есть дает ли она признак параллелограмма. Например, составить теорему. «Если в четырехугольнике пр

отивоположные углы попарно равны, то этот четырехугольник параллелограмм».

Такую же работу можно провести и для выяснения признаков видов параллелограмма, что дает материал для задач на доказательство и на построение.

Необходимо выяснить число элементов, определяющих выпуклый четырехугольник. Ученики нередко считаю, что треугольник определяется тремя элементами, а четырехугольник – четырьмя. Уже модель шарнирного четырехугольника показывает, что четыре стороны не определяют четырехугольник – можно образовать различные выпуклые четырехугольники. Затем можно показать на чертеже, что каждый четырехугольник можно разбить на два треугольника. Один треугольник определяется тремя элементами. Для того чтобы второй был определен, нужно задать еще два элемента (так как один элемент у треугольников общий).

Надо выяснить также, что понимается под независимыми данными элементами. Например, показать, что если в параллелограмме дан угол, то тем самым определены и три других угла.

Еще раз напоминаем о необходимости приучать учащихся к разнообразным чертежам одной и той же фигуры. Так, например, многие ученики считают, что во всякой трапеции тупой угол может прилегать только к меньшему основанию, и не могут сделать чертеж к задаче № 458 из задачника Н.Н. Никитина и Г.Г. Масловой.

Тема «Окружность» проходится после тем «Подобные треугольники» и «Площадь многоугольника», включающей теорему Пифагора.

Ее основное содержание:

определение положения окружности на плоскости;

основные теоремы о зависимости между хордами и дугами в круге;

взаимное положение прямой и окружности;

взаимное положение двух окружностей;

измерение некоторых углов в круге.

Характерной особенностью рассматриваемой темы является ее связь с идеей положения – одной из основных идей геометрии. Никакая другая тема (за исключением первой темы стереометрии) не дает стольких возможностей для изучения взаимного расположения геометрических фигур. Эти возможности должны быть использованы учителем для развития пространственного воображения учащихся.

Изучение темы дает также возможность продолжать работу по развитию логической мысли школьников: образовывать теоремы, обратные рассмотренным (теоремы о диаметре, перпендикулярном хорде, о касательной к окружности и другие), вести доказательство обратных теорем, что требует хорошего понимания логической зависимости между данными и искомыми в каждом случае.

Установление условий, при которых прямая и окружность, а также две окружности имеют одну, две общие точки, позволяет обосновать различные возможные случаи решения задач на построение с помощью циркуля и линейки, то есть провести исследование.

Измерение вписанных и некоторых других углов дает материал для решения задач на вычисление и доказательство; к числу последних могут быть отнесены и задачи на измерение углов, не включенные в программу, например измерение угла, образованного двумя касательными (описанный угол). Содержание задач может быть гораздо разнообразнее, так как может быть использована теорема Пифагора.

Рассмотрим некоторые вопросы темы.

Вначале следует вспомнить определение окружности, которое было дано в 7 классе, понятия центр, радиус. Дальше можно перейти к тому, сколько точек определяет окружность на плоскости, что положение окружности определяется положением ее центра и заданием радиуса, после чего ученики непосредственным построением выясняют, что одна точка не определяет окружности, что, взяв определенный центр, можно провести «сколько угодно» окружностей любого радиуса. После этого задаются две точки. Учащиеся должны найти положение центра окружности, то есть точку, равноотстоящую от двух заданных точек. Учащиеся уже знают, что для этого надо построить перпендикуляр к отрезку, соединяющему две заданные точки, через его середину. Следует вывод, что и две точки не определяют положение окружности, так как можно построить бесконечное множество окружностей, проходящих через эти две точки. Но учащиеся воспринимают наглядно, что положение центра окружности уже более определенное– им может быть только любая точка построенного перпендикуляра. Положение каждой выбранной точки определяет радиус окружности, он не может быть меньше половины расстояния между данными точками.

Три заданные точки, не лежащие на одной прямой, дают определенное решение задачи. Оно вполне может быть найдено учащимися. Ученики могут дать обоснование и тому, что через три точки, лежащие на одной прямой, окружность провести нельзя. Без обоснования принимается, что два перпендикуляра к пересекающимся прямым пересекаются. В программе 7 класса такой теоремы нет, доказательство этого очевидного положения трудно воспринимается.

При решении рассмотренной задачи используется понятие геометрического места точек плоскости, равноудаленных от двух данных точек, что может послужить поводом для повторения и других известных геометрических мест.

Все различные случаи взаимного положения окружности и прямой учащиеся могут установить путем самостоятельного выполнения чертежей, после чего учитель вводит понятие о касательной к окружности.

Первая теорема о касательной обосновывает возможность ее построения, которое и может быть выполнено при помощи чертежного циркуля и линейки. Построение касательной из точки, лежащей вне круга, с помощью циркуля и линейки может быть дано после измерения вписанного угла.

Также самостоятельно ученики могут обнаружить все возможные случаи взаимного расположения двух окружностей. Учитель задает определенные радиусы двух окружностей R и r (R>r) и предлагает изменять расстояние между центрами d. Проще всего начать со случая, когда окружности лежат одна вне другой, и затем как бы приближать одну из них, уменьшая расстояние d. Не все учащиеся сразу находят все возможные положения окружностей, но затем учитель обобщает их работу и дает общую схему на доске или на плакате. Ясное представление о различных положениях двух окружностей может дать и наглядное пособие, на котором один круг начерчен на фанере, а другой – прозрачный с цветным обводом – может передвигаться по линии центров.

После того, как опытным путем установлены все случаи расположения двух окружностей, на каждом чертеже надо рассмотреть зависимость между радиусами окружностей и расстоянием между их центрами, которое следует из каждого положения. Из того, что каждая из установленных зависимостей исключает все другие, и что они исчерпывают все возможные случаи, вытекает справедливость обратных предложений. В этом можно убедиться, доказав любое из них «от противного». Ученикам надо предложить составить такую же таблицу расположения двух окружностей, имеющих равные радиусы. Они смогут самостоятельно обнаружить, что возможны только три случая расположения окружностей. Если в дальнейшем будет поставлен вопрос об общей касательной к двум окружностям, то обе эти таблицы могут быть использованы для выяснения числа общих касательных для каждого случая расположения окружностей.