Страница
18
Решение:
Рис. 6
Обозначим прямую 
через 
. Рассмотрим полный четырёхвершинник 
. Его диагональными точками являются h=49 height=21 src="images/referats/29601/image301.png">, прямые
и – две его диагонали. Так как, через каждую диагональную точку полного четырёхвершинника проходит гармоническая четверка прямых, то есть пара прямых 
гармонически разделяет пару прямых 
. Отсюда следует, что как только заданные прямые и точка 
, так однозначно определяется третья прямая 
, а затем и четвёртая гармоническая прямая . Итак, прямая зависит только от и , но не от 
и 
.
Задача №10.
Построены диагональные точки полного четырехвершинника 
: 
, 
, 
. Точки 
определены соотношениями: пара точек 
гармонически разделяет пару точек 
; 
– разделяет 
; 
– разделяет 
. Доказать, что: 1) прямые 
сходятся в одной точке 
; 2) пара точек 
гармонически разделяет пару точек 
Решение:
1) Рассмотрим полный четырехвершинник 
. Его диагональными точками являются 
и 
. Диагональ 
пересекает сторону четырехвершинника 
в точке, четвертой гармонической к 
. Но согласно условию, гармонически разделяет ; значит, прямая проходит через точку 
, а поэтому и через 
. Итак, прямые 
и 
действительно сходятся в точке .
Рис. 7
2) Рассмотрим полный четырехвершинник 
. Точки 
и – его диагональные точки, прямая 
– диагональ. Она пересекает противоположные стороны 
и 
, проходящие через третью диагональную точку, в точках и соответственно; следовательно в силу того, что на каждой диагонали полного четырехвершинника имеется гармоническая четверка точек, пара точек гармонически разделяет пару точек 
.
Задача №11.
На прямой даны три точки 
. Пользуясь одной линейкой, построить четвертую гармоническую точку 
.
Решение:
Будем считать плоскость чертежа евклидовой плоскостью, поэтом различим два случая.
1) Точка 
лежит вне отрезка 
(рис 8, а).
Будем считать 
и вершинами некоторого полного четырехвершинника, а – его диагональной точкой. Возьмем вне прямой точку 
(вторая диагональная точка). Построим 
и 
(пара противоположных сторон). Из точки (которая пока без пары) проведем к треугольнику 
секущую 
( и 
– третья и четвертая вершины; лежит на , – на ).