Методические рекомендации к уроку "Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник"

Как правило, именно в студенческом возрасте достигают максимума в своём развитии не только физические, но и психологические свойства и высшие психические функции.

Профессионально–педагогическая направленность обучения студентов педагогического вуза теме «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник»

Курсы педагогического института по высшей математике должны:

1) в первую

очередь освещать на современном научном уровне те вопросы, которые учитель излагает в школе;

2) обеспечивать широкий кругозор студентов в математике, знакомство по мере возможности с современной математикой и её задачами. Поэтому курсы по высшей математике должны освещать те фундаментальные вопросы современной математики, которые служат сейчас её основой и определяют её лицо. Это обеспечит определённый уровень математической культуры будущего учителя;

3) учить математически мыслить, т.е. умению решать математические задачи и умению в простейших случаях формулировать на языке математики различные задачи, возникающие в других науках;

4) содержать достаточно богатые приложения высшей математики к естествознанию и технике. Это позволит учителю в процессе преподавания дать представление учащемуся о приложении к жизненной практике тех понятий и процессов, которые будут изучаться в элементах высшей математики в школе;

5) обеспечивать воспитывающий характер обучения, т.е. развитие общей культуры и формирование мировоззрения и личности студента.

Готовя учителей сегодня, необходимо наряду с прочими знаниями обучить их не только таким разделам математики, которые важны сейчас, но и тем, относительно которых есть основание думать, что они будут развиваться в близком будущем или станут основой будущих разделов науки. Иными словами, это значит, что необходимо развивать мышление обучаемых так, чтобы они впоследствии сами могли осваивать те новые разделы математики, которые им, может быть, в будущем придётся преподавать в школе, даже если они их сейчас и не изучают.

Студенты-математики знают, что в школе им предстоит преподавать в основном элементарную математику и лишь самые начала высшей. В институте же наряду с курсами элементарной математики и методики математики они изучают большие курсы высшей математики, которые посвящены в основном тому, что им непосредственно не придётся преподавать в школе. Эти курсы по своему характеру часто представляют собой уменьшенные университетские курсы. Их главная цель - сообщить учащимся возможно больше сведений. Но они далеко не всегда излагают эти сведения под тем углом зрения, который важен будущим учителям. В результате у студентов математического факультета пединститута часто создаётся ложное представление, будто бы высшая математика им, как будущим учителям, для работы в школе не нужна, и поэтому иногда студенты считают, что их обучают, может быть, и интересным вещам, но в общем «не тому, чему нужно». Они знают теоремы из высшей математики и умеют их доказывать, но не знают, зачем эти теоремы им нужны. Что с ними делать? Где и как их применить? И эти чисто психологические моменты нельзя недооценивать.

Прежде всего, надо отметить бесспорный факт: студентам, будущим школьным учителям, которым предстоит преподавать в основном в школе только элементарную математику и лишь самые начала высшей, нужны большие и серьёзные курсы по высшей математике. Эти курсы им нужны потому, что все основные вопросы, излагаемые в школьном курсе элементарной математики, излагаются там поневоле элементарно и неполно. Истинное же обоснование и освещение на современном научном уровне эти вопросы находят лишь в высшей математике. Важнейшая задача вузовской педагогики математики – так излагать высшую математику в педвузе, чтобы студенты знали и понимали, что без её изучения полноценных учителей из них не выйдет.

Надо считать, что решающую роль в обучении должна играть его осознанность. Студент должен не только познавать отдельные факты и отдавать себе отчёт в их взаимоотношениях друг с другом, но и понимать цели и задачи обучения, что и зачем он изучает. Поэтому само преподавание должно воспитывать у студента потребность отдавать себе отчёт в смысле своей учебной работы.

Необходимость изучения проективных свойств фигур вытекает из их роли в человеческой деятельности, и в частности в необходимости знания их учителем математики в средней школе, так как со многими из них школьник встретится не только на уроках математики, но и на уроках искусства, физики. Задачи на проективные свойства фигур даются учащимся в качестве олимпиадных задач. Рассмотрим для примера следующую задачу. Точка O принадлежит высоте треугольника ABC и находится внутри него. Прямые AO и BO пересекают стороны треугольника в точках E и K. Докажите, что углы KHC и EHC равны.

Доказательство. Пусть и . Покажем, что .

Проведем прямую KE и обозначим точку её пересечения с прямой AB буквой P (рис. 1).

Рис. 1

Рассмотрим четырехвершинник . Так как четверка точек – гармоническая (утверждение 3, см. приложение), то и проектирующие её из центра H прямые HK, HE, HM, HP составляют гармоническую четверку, поэтому, согласно замечанию 1 (занятие 2, см приложение),

=1.

Итак, , а так как углы острые, то .

Если прямые KE и AB параллельны, то к точкам A, B и H четвертой гармонической будет бесконечно удаленная точка. В этом случае H – середина отрезка AB и из свойств осевой симметрии следует равенство углов и .

В геометрии встречаются свойства фигур различной природы: метрические, аффинные, проективные. Данная тема изучается учащимися, освоившими курс планиметрии в рамках учебника Л. С. Атанасяна и др Приложение 4 «Некоторые замечательные теоремы планиметрии» содержат интересующие нас утверждения и задачи на доказательство (отличающиеся повышенным уровнем сложности). В приложении 1 разработан факультатив который может быть использован в школьном курсе геометрии, при изучении темы «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник» на факультативе.

Основной целью этого параграфа было предложить такой подход к курсу геометрии, чтобы студент с самого начала понимал, что и почему он изучает, в чём состоят основные идеи и ценность этого курса, чтобы студент видел цельность и единство курса геометрии, чтобы курс не распался как раньше в представлении студента на отдельные предметы.