Методика обучения элементам теории вероятностей на факультативных занятиях в общеобразовательной школе

Урок – семинар

Тема урока: Геометрическая вероятность.

Цель урока:

ввести понятие геометрической вероятности;

способствовать развитию логического и пространственного воображения учащихся;

воспитать самостоятельность, терпение, усидчивость.

Оборудование: доска, мел, чертежи, набор задач.

Структура урока.

Организационный момент.

Сообщение темы и цели занятия.

Изучение нового материала.

1) Учитель. Теория вероятностей, подобно другим математическим наукам, развилась из потребностей практики.

До конца XVII века наука так и не подошла к введению классического определения вероятности, а продолжала оперировать только с числом шансов, благоприятствующих тому или иному событию. В 30 – е годы XVIII столетия классическое понятие вероятности стало общеупотребимым. Так в трактовке Я. Бернулли “ Искусство предположений “ присутствуют обе концепции вероятности – классическая и статистическая, обе они изложены не очень четко, но существенно то, что они уже введены в рассмотрения и использования.

Однако уже в первой половине XVIII века выяснилось, что классическое понятие вероятности имеет ограниченную область применения и возникают ситуации, когда оно не действует, а потому необходимо его расширение. Таким толчком послужили работы французского естествоиспытателя Ж. Бюффона (1707 – 1788), в которой он сформулировал знаменитую задачу о бросании иглы на разграфленную плоскость и предложил ее решение.

Классического определения вероятности нельзя применить к опыту с бесконечным числом «равновероятных» исходов. К описанию такой ситуации приспособлено геометрическое определение вероятности. Т. о. геометрические вероятности—вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т. д.).

Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок L наудачу поставлена точка. Это означает выполнение следующих предположений: поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка L, вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L. В этих предположениях вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством

Р== Длина l/Длина L. (5)

Для иллюстрации схемы геометрических вероятностей рассмотрим следующие задачи.

2) Ученик. Парадокс Бертрана. Наудачу берется хорда в круге. Чему равна вероятность, что ее длина превосходит длину стороны вписанного равностороннего треугольника?

Решение 1. По соображениям симметрии можно заранее задать направление хорды. Проведем диаметр, перпендикулярный к этому направлению. Очевидно, что только хорды, пересекающие диаметр в промежутке от четверти до трех четвертей его длины, будут превосходит стороны правильного треугольника. Таким образом, искомая вероятность равна

Решение 2.По соображениям симметрии можно заранее закрепить один из концов хорды на окружности. Касательная к окружности в этой точке и две стороны правильного треугольника с вершиной в этой точке образуют три угла по 600. Условию задачи благоприятствуют только хорды, попадающие в средний угол. Таким образом, при этом способе вычисления искомая вероятность оказывается равной

Решение 3.Чтобы определить положение хорды, достаточно задать ее середину. Чтобы хорда удовлетворяла условию задачи, необходимо, чтобы ее середина находилась внутри круга, концентрического данному, но половинного радиуса. Площадь этого круга равна одной четверти площади данного; таким образом, искомая вероятность равна

Причина неоднозначности решения нашей задачи заключается в том, что за решение одной и той же задачи, пользуясь тем, что в условии задачи не определенно понятие проведения хорды на удачу, выдаются решения трех различных задач.

В самом деле, в первом решении вдоль одного из диаметров заставляют катится круглый цилиндрический стержень (рис. 7, а) . Множество всех возможных мест остановки этого стержня есть множество точек отрезка AB длины, равной диаметру. Равновероятными считаются события, состоящие в том, что остановка произойдет в интервале длины h, где бы внутри диаметра ни был расположен этот отрезок.

Во втором решении стержень, закрепленный на шарнире, расположенном в одной из точек окружности, заставляют совершать колебания размером не более 1800 (рис. 7, б). При этом предполагается, что остановка стержня внутри дуги окружности длины h зависит только от длины дуги, но не от ее положения. Таким образом, равновероятным событиям считаются остановки стержня в любых дугах окружности одинаковой длины. Несогласованность определений вероятности в первом и во втором решениях становится совершенно очевидным после такого простого расчета. Вероятность того, что стержень остановится в промежутке от A до x, согласно первому решению равна Вероятность того, что проекция точки пересечения стержня с окружностью во втором решении попадет в тот же интервал, как показывают элементарно – геометрические подсчеты, равна

при

и

при

а) б) в)

Рис. 7.

Наконец, в третьем решении мы бросаем на удачу точку внутрь круга и спрашиваем себя о вероятности попадания внутрь некоторого меньшего концентрического круга (рис. 7, в).

Различие постановок задач во всех трех случаях совершенно очевидно.

3) Ученик.Задача Бюффона. Плоскость расчерчена параллельными прямыми, расстояние между которыми равно 2а. На плоскость наудачу брошена игла длины 2l (l< а). Найти вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь прямую.

Решение. Обозначим через x расстояние от центра до ближайшей параллели и через – угол, составленный иглой с этой параллелью. Величины x и полностью определяют положение иглы. Всевозможные положения иглы определяются точками прямоугольника со сторонами a и . Из рис. 8 видно, что для пересечения иглы с параллелью необходимо и достаточно, чтобы

Искомая вероятность в силу сделанных предположений равна отношению площади заштрихованной на рис. 9 области к площади прямоугольника

Заметим, что задача Бюффона является исходным пунктом для решения некоторых проблем теории стрельбы, учитывающих размеры наряда.