Методика обучения элементам теории вероятностей на факультативных занятиях в общеобразовательной школе

Извлекают второй шар. (Б,Б)

Ч Б Ч Б

Рис. 6.

Р(А)=

Поясним приведенное решение. Стрелки вероятностного графа (рис.6) изображают возможные исходы испытаний, обозначения которых ставятся возле концов стрелок. В нашем случае – это буквы Ч и Б. Ряд

ом со стрелками записываются соответствующие безусловные или условные вероятности. Каждая цепочка стрелок изображает один из исходов совместных испытаний – одну из возможных комбинаций извлечения из урны шаров: (Ч,Ч), (Ч,Б), (Б,Ч), (Б,Ч). По формуле (4) вероятности этих комбинаций получаются перемножением безусловных и условных вероятностей, записанных вдоль цепочек. Извлечению разноцветных шаров благоприятствуют исходы (Ч,Б) и (Б,Ч). сложив их вероятности, найдем искомую вероятность Р(А).

Построением таблиц и вероятностных графов можно решать и более сложные задачи, когда проводятся три, четыре и даже пять совместных испытаний. Например, до пяти раз подбрасывают монету или из урны без возвращения извлекают три шара. Уровень таких задач достаточно высок для средней школы, и учащиеся, овладевшие алгоритмами построения таблиц и графов, успешно с ним справляются.

Школьникам предлагается также решать обратные задачи о нахождении вероятностей гипотез по предварительно заданной информации. Вероятность гипотезы вводится расширением понятия условной вероятности.

Напомним, что условная вероятность была введена для зависимых событий при рассмотрении совместных зависимых событий. Однако при проведении любых испытаний можно сделать предположение (выдвинуть гипотезу) о возможности наступления любого конкретного события А, если заранее известно, что в этих испытаниях наступило (или, наступит), например событие В. Тогда вероятность, что это предположение оправдается (вероятность гипотезы), есть условная вероятность , вычисляемая по формуле

=

В заключение хочется подчеркнуть, что учащимся 5 – 9 классов вполне по силам изучение элементов теории вероятностей на примерах простых испытаний с небольшим числом исходов. Математический аппарат, которым они должны предварительно овладеть – школьный курс арифметики. А предлагаемая аксиоматика, алгоритмы построения таблиц исходов испытаний и вероятностных графов доступны для школьного понимания.

Алгебра событий

После того как учащиеся познакомятся с элементарными понятиями теории вероятностей: события, достоверные и невозможные события, противоположное событие, несовместные события, независимые события – и научатся вычислять вероятность события на основе классического определения вероятности, полезно потренировать школьников в употреблении терминов, относящихся так называемой алгебре событий. При этом имеет смысл установить связь между алгеброй событий и алгеброй множеств. Понятие множеств учащимся интуитивно ясно. Не вызывает трудности и тренировка в операциях над множествами: включение, объединение, пересечение, дополнение. Представления об этих операциях лежат в основе всей математики и, в частности, в основе теории вероятностей. Достаточно посвятить им одно - два занятия, и учащиеся уже хорошо ориентируются в операциями над множествами. Теоретико-множественные представления можно призвать на помощь при обучении языку алгебры событий.

Для того чтобы установить параллель между языком теории множеств и языком алгебры событий, полезно составить вместе с учащимися таблицу, которая приведена ниже.

С помощью таблицы и рисунка целесообразно разобрать с учащимися задания по тематике, описывающей ряд однотипных испытаний. Но сначала необходимо ввести обозначения, которыми будем пользоваться в дальнейшем. Представим себе три одинаковые урны, в каждой из которых лежат неразличимые на ощупь белые и черные шары.