Методика обучения элементам теории вероятностей на факультативных занятиях в общеобразовательной школе

Рассматриваются такие события (гипотезы):

H1 - выбрали первую урну,

H2 - выбрали вторую урну, A - вынули из урны белый шар,

H3 – выбрали третью урну, - вынули из урны черный шар

Задача 1. Запишите с помощью символов следующие события.

выбра

ли либо первую, либо вторую урну;

выбрали какую – то одну урну;

выбрали не первую урну;

белый шар вынули из второй урны;

черный шар вынули из третей урны;

белый шар вынули не из первой урны;

из какой – то урны выбрали черный шар.

Ответ. 1) H1+H2;

2) H1+H2+H3;

3)= H2+H3;

4) A H2;

5) ;

6) A =A(H2+ H3);

7) ( H1+H2+H3).

Задача 2. Дайте словесное толкование следующим событиям:

1. а) AH1; б) H2; в) .

2. а) AH1+AH2+AH3; б) H1+H2+H3.

3. а) (A\H1) (H1\A); б)(\H2) (H2\).

Ответ.1. а) Белый шар вынули из первой урны;

б) черный шар вынули из второй урны;

в) черный шар вынули не из третьей урны

2. а) Белый шар вынули либо из первой, либо из второй, либо из третьей урны;

б) черный шар вынули либо из первой, либо из второй, либо из третьей урны;

3. а) Либо вынули белый шар не из первой урны, либо из первой урны вынули черный шар;

б) либо вынули черный шар не из второй урны, либо из второй извлекли белый шар.

Задача 3.установите, верны ли равенства:

а) H1+H2+H3=W;

б) А+ =W;

в) А= Ø – и дайте им словесное толкование.

Ответ. Все равенства верны.

а) выбрали либо первую, либо вторую, либо третью урну. По условию испытания это событие достоверное;

б) достоверное, что вынули либо черный, либо белый шар;

в) вынутый шар не может быть одновременно и белым и черным.

На этом этапе, когда язык алгебры событий учащимися достаточно усвоен, вводятся теоремы сложения и умножения вероятностей, после которых следуют приведенные ниже упражнения.

Задача 4. Известно, что в каждой из трех урн число белых шаров равно числу черных (например, см. рисунок). Подсчитайте указанные ниже вероятности при условии, что шар извлекается наугад из наугад выбранной урны.

P(H1), P(H2), P(H3).

P(H1+H2+H3).

P(A), P().

P(AH3),P(H1).

Ответ. 1. P(H1)= P(H2)= P(H3)=- вероятность того, что выбрана первая (вторая, третья) урна.

2. P(H1+H2+H3)= +==1 – вероятность того, что выбрана одна из урн, равна вероятности достоверного события, т.е. 1.

3.P(A)= P()=- вероятность того, что будет вынут белый (черный) шар.

4. P(AH3)=P(H1)= *=вероятность того, что будет извлечен белый шар из третьей урны (черный шар из первой урны).

Следующий этап - изучение условной вероятности, т.е. вероятности события А, если известно, что оно может наступить, если прежде произошло одно из событий H1,H2,H3.

В этом месте также необходимо потренироваться в правильном употреблении терминов и символов.

Задача 5. Запишите словами, в чем состоят указанные ниже события, и вычислите их вероятность.

а) A\H1; б) \H2; в) \.

Ответ. а) выбрали первую урну, а затем из нее извлекли белый шар,

P(A\H1)=

б) выбрали вторую урну, а затем из нее вынули черный шар,

P(\H2)=;

в) выбрали первую либо вторую урну, а затем из какой –то из них достали черный шар,

P(\)=

Изучив понятие условной вероятности, есть возможность перейти к формуле полной вероятности.

Вероятность события А, которое может наступить при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) H1,H2,H3, образующих полную систему событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

Р(А)=P(H1)P(A\H1)+P(H2)P(А\H2)+P(H3)P(А\H3) – формула полной вероятности. Рассмотренная проблематика позволяет связать ее с более сложным вопросом, к которому обычно приступают много позже. Речь идет о формуле Байеса. Объединяя изучения формулы полной вероятности и формулы Байеса, преподаватель достигает настоящего укрупнения дидактических единиц и получает возможность лучше разъяснить ситуации, связанные с обеими формулами. В самом деле, формула полной вероятности употребляется для подсчета вероятности предложения о том, что событие А может наступить, а формула Байеса применяется тогда, когда событие А наступило.

Пусть известно, что:

а) событие А может наступить при условии появления одного из событий H1,H2,H3, образующих полную систему событий;

б) известны условные вероятности P(A\H1), P(А\H2), P(А\H3) события А относительно всех событий Н1,Н2,Н3.

В результате испытание оказалось, что событие А произошло. Какова вероятность того, что оно наступило вместе с событием Нi, где I=1,2,3. другими словами, найти вероятность P(H1\A), P(H2\ А), P(H3\ А).