Методика обучения элементам теории вероятностей на факультативных занятиях в общеобразовательной школе

Понятие базового и сокращенного множества исходов удобны при рассмотрении урновых испытаний. Пусть, например, из урны с тремя белыми и четырьмя черными шарами наугад извлекают шар.

Если бы все семь шаров были бы пронумерованы, т.е. различимы, то можно было бы говорить о базовом множестве исходов этого испытания, насчитывающем семь элементов. Но шары одного и того же цвета неразличимы. Поэто

му в таком испытании задается сокращенное множество исходов: е1 – Б(достали белый шар),е2 – Ч(достали черный шар). Указанные исходы, по сути, являются событиями. Первому событию благоприятствуют три исхода из базового множества, связанные с извлечением белых шаров, а второму – четыре исхода из базового множества, связанные с извлечением черных шаров.

С помощью графических изображений удобно объяснять совместность и несовместность событий, а также их противоположность. Если в ходе испытания совместное осуществление событий А и В невозможно, то события А и В называются несовместными. В этом случае ни один из исходов испытания не благоприятствует одновременному появлению события А и события В. Если же в ходе испытания не благоприятствует одновременному появлению событий А и В возможно, то события А и В называются совместными, и, по крайней мере, один из исходов испытания благоприятствует одновременному появлению этих двух событий.

Пример 3. Укажите, какие из изображенных на рис.3 событий являются совместными, а какие – несовместными.

Решение. События А и В – совместные (общий исход е3), А и С – совместные (общий исход е1 и е3 ), В иС – несовместные ( нетобщих исходов).

Рис. 3.

Если события А и В несовместные, и при любом исходе испытания наступает одно из этих событий, то события А и В называются противоположными и обозначаются как А=, B=.

Пример 4. Из урны, где лежат шесть пронумерованных подряд шаров с номерами с 1 по 6, наугад извлекают один шар. Изобразите графически события: А – извлекли шар с номером, кратным трем, - событие, противоположное А. Решение. Базовое множество содержит шесть элементов (рис. 4): е1– извлечен шар № 1, е2 – извлечен шар № 2,

е3 – извлечен шар № 3, е4– извлечен шар № 4

е5 – извлечен шар № 5, е6– извлечен шар №6.

Появлению события А благоприятствуют два исхода – е3, е6 , остальные благоприятствуют .

Рис. 4.

Классическое и статистическое определение вероятности

В рассматриваемом курсе для испытаний со счетным числом исходов можно использовать классическое и статистическое определение вероятности. Однако трудно не согласиться с венгерским математиком А. Реньи, отметившим, что классическое определение вероятности не является определением, а дает лишь метод ее вычисления в простейших случаях. Поэтому в предлагаемом курсе, сначала вводится статистическое определение вероятности, а затем для случаев, когда есть симметрия исходов испытаний, дается ее классическая формула.

В основе статистического определения вероятности лежит закон больших чисел, который в настоящем курсе приводится как факт, подтвержденный многочисленными опытами и наблюдениями. При введении статистического определения вероятности рекомендуется провести лабораторную работу, состоящую в подбрасывании монеты или игрального кубика. В ходе этой лабораторной работы школьники самостоятельно могут убедится в действии этого закона: с увеличением числа подбрасываний значение статистической частоты выбранного для наблюдения исхода (например, выпадение «орла» на монете, или четырех очков на кубике) устойчиво сосредотачиваются возле некоторого числа p, которое и называется вероятностью наблюдаемого исхода или события.

Внимание учащихся следует обратить на то, что на практике статистические испытания и наблюдения являются основным способом оценки вероятностей событий. При этом всегда возникает вопрос о точности такой оценки, поскольку не всегда возможно проведения достаточно большого числа экспериментов и наблюдений. В случае симметрии исходов испытания (подбрасывания симметричной монеты и игрального кубика, урновые испытания) вероятности исходов полагают равными друг другу. Тогда вероятность любого события А равна , где m – число всех исходов испытания, l - число исходов, благоприятствующих появлению события А.

Статистическое определение вероятности удобно для введения аксиом.

Вероятность исходов испытаний положительна.

Сумма вероятностей всех исходов испытания равна единице e1,e2, .,emp1+p2+ .+p3=1. (1)

Вероятность случайного события равна сумме вероятностей исходов испытания, благоприятствующих этому событию, т.е. если е1, .,ек – множество всех исходов испытания, благоприятствующих появлению события А, то

P(A)=p1+ .+pk. (2)

В качестве оснований для этих утверждений приводятся очевидные факты, связанные со статистическими испытаниями.

Статистическая частота исхода испытания положительна.

Сумма статистических частот всех исходов испытания в серии из N повторных экспериментов равна единице:

Здесь n1,n2, .,nm – число появлений исходов e1,e2, .,em в проведенной серии испытаний.

Статистическая частота случайного события равна сумме статистических частот исходов испытания, благоприятствующих этому событию.

Для закрепления материала необходимо рассмотреть решения следующих типов задач.

Пример 1. В некотором испытании возможны три исхода e1,e2,е3. Вероятность исхода е1 равна 0,3, а исхода е3 – 0,6. Чему равна вероятность появления исхода е2?

Решение.p2=1-p1-p3=1-0,3-0,6=0,1.

Пример 2. В некотором испытании возможны три исхода e1,e2,е3. В 1000 повторных испытаниях исход е1 появляется 350 раз, а исход е2 – в 40% испытаний. Оцените вероятность исходов испытания.

Решение.;

;

p31-0,35-0,4=0,25.

Пример 3. В испытании возможны четыре исхода: e1,e2,е3,е4. Их вероятности соответственно равны p1=0,2, p2=0,1, p3=0,4 и p4=0,3. Событию А благоприятствуют исходы e1 и е4, а событию В – исходы e2,е3 ие4. Чему равна вероятность событий А и В и вероятность, что события А и В произойдут в испытании вместе?

Решение. P(A)= p1+ p4=0,2+0,3=0,5;

P(B)= p2+ p3+ p4= 0,1+0,4+0,3=0,8;

P(A,B)= p4=0,3.

Пример 4. Чему равна вероятность извлечь наугад белый шар из урны, в которой лежат четыре белых и пять черных шаров?

Решение. Пусть событие А – извлечение белого шара. Тогда число всех исходов испытания m=9, число исходов испытания, благоприятствующих появлению события А, равно 4 (l=4) и P(A)=