Методика обучения элементам теории вероятностей на факультативных занятиях в общеобразовательной школе

- изучение стохастики как бы распадается на вероятностную и статистическую составляющие, тесно связанные между собой, во многих странах они дополнены небольшим фрагментом комбинаторики.

В нашей стране уже предпринимались неудачные попытки введения в школьный курс математики понятие вероятности события. В силу изолированности и инородности его по отношению к традиционному школьному курсу это

т материал был вскоре изъят из программ и учебников.

Некоторый опыт обучения элементам теории вероятностей накоплен в школах с углубленным изучением математики, но и он лишь подтверждает тот факт, что попытки решить проблему путем введения в традиционный курс математики нового изолированного раздела обречен на провал. Изучение элементов теории вероятностей как замкнутого раздела программы, относящегося к «чистой», теоретической математике, полностью дискредитировало себя в глазах педагогов и привело к тому, что некоторые из них вообще выражают сомнения в том, что ее можно и нужно изучать в средней школе. В тоже время преподаватели физики, химии, биологии ощущают острую потребность в том, чтобы выразить основные закономерности этих наук на языке вероятностных понятий. Ведь современное состояние человеческих знаний о мире позволяет считать, что случайный характер присущ основным (базисным) явлениям микромира [9].

Появление в школьной программе вероятностно – статистической линии, ориентированной на знакомство учащихся с вероятностной природой большинства явлений окружающей действительности, будет способствовать усилению ее общекультурного потенциала, возникновению новых, глубоко обоснованных межпредметных связей, гуманитаризации школьного математического образования.

При отборе материала для новой лини школьного курса необходимо учитывать общеобразовательную значимость и мировоззренческий потенциал предлагаемых тем. Важно правильно оценить то, какие знания нужны современному человеку в повседневной жизни и деятельности, что из них потребуется ученику для изучения других школьных предметов, для продолжения образования, какой вклад могут внести эти знания в формирование различных сторон интеллекта ученика. Необходимо позаботиться так же о том, чтобы предложенное содержание обеспечивало возможности органичного сопряжения нового учебного материала с традиционным, способствовало развитию внутрипредметных связей.

И в нашей стране сегодня проходит неизбежный процесс вхождения стохастики как равноправной составляющий в обязательное школьное математическое образование.

Все государственные образовательные документы последних лет содержат вероятностно-статистическую линию в курсе математики основной школы наравне с такими привычными линиями, как "Числа", "Функции", "Уравнения и неравенства", "Геометрические фигуры" и т.д.

Психолого-педагогические аспекты изучения теории вероятностей в средней школе

Исследование психологов (Ж.Пиаже, Е. Фишбейн) показывают, что человек изначально плохо приспособлен к вероятностной оценке, к осознанию и верной интерпретации вероятностно-статистической информации. О том же говорят и эксперименты, проведенные Е. А. Бунимович (Москва, один из авторов учебников, содержащих элементы стохастики) на базе московской гимназии № 710, ярославской гимназии № 20 и калужской гимназии № 2. В экспериментальных исследованиях вероятностные представления школьников старших профильных классов, приступивших к углубленному курсу математики, но еще не изучавших вероятностные разделы. Результаты исследования недвусмысленно говорят о том, что даже хорошее знание и понимание других разделов математики само по себе не обеспечивает развитие вероятностного мышления и не избавляет даже от тривиальных вероятностных предрассудков и заблуждений.

Приведем один пример. Учащимся задавали вопрос:

" На одной карточке спортлото (6 из 49) зачеркнуты номера

1, 2, 3, 4, 5 и 6,

а на другой

5, 12, 17, 23, 35 и 41.

Как вы думаете, выигрыш какого набора чисел более вероятен?".

Из всех участников эксперимента 22% старшеклассников ответили, что вероятнее второй карточки. Интересен практически одинаковый ответ двух школьников разных школ (Москва и Ярославль): " Вообще – то оба случая равновероятны, но второй случай более вероятен", выражающий очевидное противоречие между бытовыми и научными представлениями школьников.

Любопытно, что профильные химико-биологические экономические классы, где курс математики существенно глубже базового, но отсутствует вероятностно – статистический материал, дают почти такой же результат (до 30 % ответов – «выигрыш второго набора более вероятен»). Не сильно отличаются от приведенных данных и результаты ответов на аналогичный вопрос в тесте, предложенном в 1998 году учителям математики на курсах повышения квалификации в Москве.

Отметим кстати, что известный любитель математических игр и парадоксов Мартин Гарднер по аналогичному поводу написал, что на самом деле выгодней вычеркивать комбинации 1, 2, 3, 4, 5 и 6 или другую же «регулярную» комбинацию. Шансы на выигрыш те же, а вот сумма при выигрыше может оказаться существенно больше, так как едва ли кому – то придет в голову зачеркнут номера порядка с 1 по 6, и потому в случае удачи не придется ни с кем делить призовой фонд.

В экспериментальной гимназии № 710 Е. А. Бунимовичем была проведена экспериментальная работа по преподаванию начальных основ вероятности в разных возрастных группах: во 2 –6 классах на занятиях развития творческих способностей; в 5 – 6, 8- 9 и 10- 11 – на уроках математики.

Опыт показал, что в возрасте начальных классов еще многое в представлениях учеников о мире недостаточно сформировано, не хватает и математического аппарата (прежде всего – простых дробей) для объяснений представлений о вероятности. В то же время основы описательной статистики, таблицы и столбчатые диаграммы, а также основы комбинаторики, систематический перебор возможных вариантов на небольшом множестве предметов возможно и даже необходимо вводить в курс начальной школы .

Одновременно было обнаружено, что начинать изложение основ теории вероятностей в старших классах – малоэффективно. Наработанное к этому возрасту стремление к быстрой формализации знаний, сформированное традиционным курсом математики, желание усвоить на уроке прежде всего некоторый набор правил, алгоритмов и методов вычисления фактически заменяет формирование вероятностных представлений формальным выучиванием формул комбинаторики и вычисления вероятности по классической модели Лапласа.

В тоже время, как уже было сказано, обсуждение на качественном уровне вероятностных ситуаций с учащимися старших математических классов, усвоившими достаточно формальный курс основ теории вероятностей, показывает, сколько мало знание формул комбинаторики и классической вероятностной модели способствует развитию вероятностной интуиции изживанию традиционных вероятностных предрассудков.

Как известно, опыт преподавания основ теории вероятностей в школе в период реформы математического образования 60 – 70 гг. на абстрактно – формальном уровне, в традиционной схеме урока дал в основном негативный результаты и привел к изъятию этого материала из школьной программы. Материал оказался сложен, формален, плохо усваивался .