Методика обучения элементам теории вероятностей на факультативных занятиях в общеобразовательной школе

А: вы ничего не выиграете – было невозможным?

Ответ. 81 билет.

Задача 7. В шкафу 10 пар ботинок с 36–го по 45-й размеры – по одной паре каждого размера. Какое минимальное количество ботинок надо наугад вынуть из шкафа, чтобы событие А: из вынутых ботинок можно составить хотя бы одну пару – было достоверным?

Ответ. 11 ботинок.

Задача 8. В классе учатся 10 мальчиков и 20 девочек.

Какие из следующих событий для такого класса является невозможными, случайными, достоверными?

A: есть два человека, родившихся в разных месяцах.

B: есть два человека, родившихся в одном месяце.

C: есть два мальчика, родившихся в одном месяце.

D: есть две девочки, родившихся в одном месяце.

E: все мальчики родились в разных месяцах.

F: все девочки родились в разных месяцах.

G: есть мальчик и девочка, родившиеся в одном месяце.

H: есть мальчик и девочка, родившиеся в разных месяцах.

Ответ. События A,C,E,G,H –случайные, B, D – достоверные, F – невозможное.

Задача 9. Автобусу, в котором едет 15 пассажиров, предстоит сделать 10 остановок. Какие из следующих событий для такого класса является невозможными, случайными, достоверными?

A: все пассажиры выйдут на разных остановках.

B: все пассажиры выйдут на одной остановке.

C: на каждой остановке хоть кто – то выйдет.

D: найдется остановка, на которой никто не выйдет.

E: на всех остановках выйдет четное число пассажиров.

F: на всех остановках выйдет нечетное число пассажиров.

Ответ. События A,C,E – случайные, A,E,F – невозможные.

Задача 10. На модели координатной прямой в точке 0 стоит фишка. После каждого бросания монеты она сдвигается на единицу вправо, если выпал "орел", и на единицу влево, если выпала "решка". Какие из следующих событий для такого класса является невозможными, случайными, достоверными?

A: после четырех бросаний фишка находится в точке 0.

B: после трех бросаний фишка находится в точке 2.

C: после пяти бросаний фишка находится в точке 5.

D: после пятидесяти бросаний фишка находится в точке 25.

E: после пятидесяти бросаний фишка находится в точке 26.

Ответ. События A,C,E – случайные, B,D– невозможные.

Задача 11. На остановке останавливаются 3 автобуса: № 1,2 и 3. Интервал движения каждого автобуса колеблется от 8 до 10 минут. Когда Саша, Маша, Гриша и Наташа подошли к остановке, от нее отошел автобус №3, а еще через 6 минут автобус №1. После этого каждый из ребят высказал свое мнение о том, каким будет следующий автобус.

Саша: "следующим обязательно будет №2".

Маша: "возможно, что следующим будет №2".

Гриша: "возможно, что следующим будет №3".

Наташа: "невозможно, что следующим будет №1".

С кем из ребят вы согласны, а с кем нет? Объясните сделанный выбор.

Ответ. Не прав только Саша.

Дискретность пространств элементарных событий

В начале курса вводятся следующие понятия:

испытание – любой эксперимент, наблюдение, контрольные и проверочные действия, различные соревнования, обследования и т.п.;

единичное испытание – испытание, в котором совершается одно действие с одним предметом. Например, один раз подбрасывается монета или извлекается один шар из урны и т.д.;

исходы испытаний – результаты испытания. Например, при подбрасывании монеты выпал «орел» или из урны извлекли черный шар;

случайные исходы испытания - результаты испытания, которые нельзя заранее предсказать, поскольку они могут быть разными и определяются случайным стечением обстоятельств в ходе испытания;

множество исходов испытания – множество всех возможных случайных исходов испытания;

примеры и задачи, используемые в курсе, касаются испытаний с небольшим числом случайных исходов. Множество исходов таких испытаний можно определить простым перебором или построить с помощью таблиц и деревьев исходов, которые рассматриваются ниже.

На начальном этапе школьники должны научится определять множество исходов единичных испытаний.

Пример 1. Из урны, где лежат красный желтый и зеленый шары, наугад извлекли один шар. Запишите множество исходов испытания.

Решение. В испытании три исхода:

- извлечен красный шар (К),

- извлечен желтый шар (Ж),

- извлечен зеленый шар (З).

Исходы можно нумеровать произвольным образом, т.ве. Возможны и другие решения, например: - Ж, - К, - З.

Исходы испытания благоприятствуют наступлению случайных событий. Понятие случайного события и благоприятствующих ему исходов вводятся через графическое изображение событий.

Пример 2. Подбрасывают игральный кубик. Изобразите графически событие А – выпало нечетное число очков.

Рис. 1.

На рис.1 точки изображают исходы испытания:

- выпало одно очко,

- выпало два очка,

- выпало три очка,

- выпало четыре очка,

- выпало пять очков,

- выпало шесть очков.

Исходы , , благоприятствуют событию А, и от них проведены стрелки к точке, изображающей это событие.

Для одного и того же испытания можно задать разные множества исходов. Например, если принять за событие А – выпадение нечетного числа очков при подбрасывании игрального кубика, а за событие В – выпадение четного числа очков, то грани с нечетным числом очков 1,3 и 5 становятся неразличимыми, так же как не различаются грани с четным числом очков 2,4 и 6. Отказ от различимости граней приводит к сокращению числа исходов при подбрасывании игрального кубика с шести до двух: е11 - А, е21 – В.

За исходы испытания можно принять и изображенные на рис.2 события С,D и K. Тогда число исходов при подбрасывании кубика будет равно трем.

Рис. 2.

Очевидно, что существует множество других вариантов задания исходов при подбрасывании кубика. Множество исходов испытания, которое содержит максимальное число возможных исходов, называется базовым множеством, а все остальные множества исходов, полученные из базового путем объединения его исходов, - сокращенным. При подбрасывании игрального кубика базовое множество насчитывает шесть элементов (е1 ,е2 ,е3 ,е4 ,е5 ,е6 ), а сокращенные множества могут содержать от двух до пяти элементов.