Методика обучения школьников применению теории к решению задач на вычисление и доказательство по теме "Многоугольники"

Докажите, что точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от его сторон.

Трапеция

В учебнике "Геометрия 7-11" А.В. Погорелова (18) тема "Трапеция" изучается в §6 п.59 "Трапеция". Определение трапеции вводится в начале пункта: Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны. Эти параллельные стороны называют

ся основаниями трапеция. Две другие стороны называются боковыми сторонами.

Далее вводится понятия "равнобедренная трапеция" и "средняя линия трапеции", и рассматривается теорема 6.8 (о средней линии трапеции): "Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме".

В учебнике "Геометрия 7-9" Л.С. Атанасяна понятие "трапеция" вводится в §2 "Параллелограмм и трапеция" в пункте 44 "Трапеция":

"Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а две другие стороны - боковыми сторонами.

Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны. Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной".

Рассмотрим методику изучения темы "Трапеция" на примере учебника А.В. Погорелова.

Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны. Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми сторонами.

На рисунке вы видите трапецию ABCD с основаниями АВ и CD и боковыми сторонами ВС и AD.

Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

Теорема 6.8: Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Дано: ABCD-трапеция,

QP-средняя линия.

Доказать: QР||ВС,

QP||AD,

QP=½ (BC+AD).

Доказательство.

BP⋂AD=E, ∆PBC=∆PED (по второму признаку равенства треугольников) CP=DP (по построению), PCB=PDE (внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей CD),BPC=EPD (вертикальные).

Из равенства треугольников => РВ=РЕ, BC=ED.

Значит средняя линия PQ трапеции является средней линией ∆АВЕ. По свойству сред, линии треугольника PQ||AE и отрезок

pq = ½АЕ= ½ (ad+bc).

Ч. т.д.

После введения выше перечисленных понятий школьники решают задачи.

Задача 1. В трапеции ABCD углы, прилежащие к стороне AD, равны 74 и 81. Определите углы прилежащие к стороне ВС. (устно).

Ответ: ABC=106, BCD=99.

Задача2. Докажите, что у равнобокой трапеции углы при основании равны.

Дано: ABCD-равнобокая трапеция,

АВ, CD-основания.

Доказать: A=B, D=C.

Доказательство.

BP||AD, ABED - параллелограмм => BE=AD (по свойству параллелограмма) AD=BC (по условию) => ∆ВСЕ - равнобедренный с основанием ЕС. Углы треугольника и трапеции при вершине С совпадают, а углы при вершине Е и D равны как соответственные углы при пересечении параллельных прямых секущей. Поэтому ADC=BCD.

Ч. т.д.

Затем ученикам можно предложить систему задач, направленную на выработку соответствующих умений и навыков.

1. В равнобокой трапеции ABCD углы, прилежащие к стороне AD, равны 45. Найдите высоту трапеции, если основания равны 13 см и 27 см.

Докажите, что если в трапеции диагонали равны, то трапеция равнобокая.

В трапеции, одно из оснований которой равно 5 см проведена средняя линия, длина которой равна 6 см. Чему равно другое основание трапеции?

Диагонали трапеции ABCD пересекают среднюю линию RP в точках М и N. Докажите, что RM=NP.

Докажите, что середины сторон равнобокой трапеции являются вершинами ромба.

Конспект урока по теме: "Трапеция. Средняя линия трапеции"

Цели урока.

Образовательные: закрепит знания изученных свойств трапеции и теорему о средней линии трапеции, научить определять условия существования трапеции; научить применять формулу нахождения средней линии трапеции при решении простейших задач, а также в сходных и новых ситуациях.

Развивающие: развить навыки самоконтроля и взаимоконтроля, развитие логического мышления, грамотного и аккуратного выполнения работ.

Воспитательные: воспитание самостоятельности и коллективизма культуры речи.

Оборудование: 2 половины листа и 1 лист копировальной бумаги, каждому ученику письменные принадлежности, лист учёта у каждого ученика.

Ход урока.

Организационный момент урока.

Перед введением определения трапеции полезно вспомнить определение параллелограмма и рассмотреть такой вид четырехугольника, у которого только две противоположные стороны параллельны. (Определение трапеции сопровождается рисунком на доске).

ВС // АD

Закрепление понятия трапеции идет через готовые рисунки на доске и вопросы к ним:

.

1) Какие четырехугольники на рис. а), б), в) являются трапециями?

Назовите их основания и боковые стороны.

В трапеции МНРК проведен отрезок РЕ // МН. Определите вид четырехугольника МНРЕ.

В равностороннем треугольнике АВС со стороной 8 см проведена средняя линия DE. Определите вид четырехугольника АDЕС. Чему равны стороны этого четырехугольника?

Рассмотреть и назвать элементы трапеции, виды трапеции.

3. Рассмотрение доказательства теоремы о средней линии трапеции.

После изложения доказательства теоремы полезно зафиксировать его этапы:

Дополнительное построение: отрезок ВЕ;

ΔРВС=ΔРЕD.

РО - средняя линия ΔАВЕ.