Методика обучения школьников применению теории к решению задач на вычисление и доказательство по теме "Многоугольники"

Рассмотрим методику изучения темы "Выпуклый многоугольник" на примере учебника геометрии А.В. Погорелова.

При изучении нового материала учащиеся должны познакомиться с несколькими новыми понятиями, уметь дать каждому определение, проиллюстрировать на рисунке.

Классу можно задать вопросы (рисунки к вопросам заготовлены заранее):

1. Назовите концы ломаных А1А2А3А4А5 и B1B2B3

B4B5, изображенных на данном рисунке (рис.1).

Рис.1.

2. Чем отличаются друг от друга данные ломаные? [Концы ломаной А1А2А3А4А5 не совпадают, а ломаной B1B2B3B4B5 совпадают].

Дается название ломаной B1B2B3B4B5, - замкнутая ломаная. Составляется определение замкнутой ломаной.

Какие из известных фигур можно назвать замкнутыми ломаными? [Треугольник, четырехугольник].

Чем отличаются замкнутые ломаные, изображенные на рисунке 2, а, б, от замкнутой ломаной, изображенной на рисунке 2, в? [а) и б) без самопересечения; в) с самопересечением].

Рис.2.

5. Чем отличаются друг от друга замкнутые ломаные, изображенные на рисунках 2, а, б? [а) Никакие соседние звенья не лежат на одной прямой].

Дается название: замкнутая ломаная, изображенная на рисунке 2, а, называется многоугольником.

Составляется определение многоугольника. Вводятся понятия: вершина, сторона, диагональ.

Назовите на рисунке 3 выпуклые четырехугольники. Какой четырехугольник называется выпуклым?

Рис.3.

7. Составляется определение выпуклого многоугольника: многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону. Вводится понятие угла выпуклого многоугольника: углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине.

Затем рассматривается теорема 13.2.

Теорема 13.2: Сумма углов выпуклого п-уголъника равна 180 (п-2).

Дано: A1A2. An-выпуклый,

п>3.

Доказать: A1 + A2 +. + An =180° * (n - 2).

Доказательство:

Если n=3, то теорема справедлива.

1. Пусть А1А2. Аn - данный выпуклый многоугольник и n>3. А1А3, A1A4,., A1An-1 - диагонали.

Т.к. многоугольник выпуклый, то диагонали разбивают его на n-2 треугольника: ∆A1A2A3, ∆A1A3A4,., ∆A1An-1An.

Сумма углов многоугольника равна сумме углов треугольников. Сумма углов треугольника =180, число треугольников = n-2.

=> A1 + A2 +. + An =180° * (n - 2).

Ч. т.д.

Правильные многоугольники

В учебнике "Геометрия 7-11" А.В. Погорелова тема "Правильные многоугольники" изучается в §13 "Многоугольники" п.115.

Определение "правильного многоугольника" рассматривается в начале пункта: "Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны". Затем даются определения "вписанного" и "описанного" многоугольника и рассматривается теорема: "Правильный выпуклый многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности".

В учебнике "Геометрия 7-9" Л.С. Атанасяна тема "Правильные многоугольники" рассматривается в п.105 §1 "Правильные многоугольники" главы 12.

Определение "правильного многоугольника" дается в начале пункта:

"Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны". Затем выводят формулу для вычисления угла αn правильного n-угольника:

ап=*180°.

В учебнике "Геометрия 7-9" И.М. Смирновой, В.А. Смирнова "правильный многоугольник" изучается в п.6 "Ломаные и многоугольники".

В начале пункта вводятся определение "ломаной": "Фигура, образованная отрезками, расположенными так, что конец первого является началом второго, конец второго - началом третьего и т.д., называется ломаной линией или просто ломаной".

Затем даются определения простой, замкнутой и многоугольника: "Ломаная называется простой, если она не имеет точек самопересечения". "Если начало первого отрезка ломаной совпадает с концом последнего, то ломаная называется замкнутой". "Фигура, образованная простой замкнутой ломаной и ограниченной его частью плоскости, называется многоугольником".

После чего рассматривается определение "правильного многоугольника": "Многоугольник называется правильным, если у него все стороны и все углы равны".

Рассмотрим методику изучения темы "Правильные многоугольники" на примере учебника геометрии А.В. Погорелова.

В начале пункта вводится определение "правильного многоугольника": "Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны", затем вводятся определения "вписанного" и "описанного" многоугольников: "Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на некоторой окружности"; "Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности".

Перед изучением теоремы 13.3 с целью подготовки класса к доказательству можно задать учащимся вопросы на повторение:

Какая прямая называется касательной к окружности?

Каково может быть взаимное расположение прямой и окружности? В классе проводится беседа, которая состоит из двух частей: сначала речь идет об окружности, описанной около многоугольника, а затем об окружности, вписанной в многоугольник.

Ответы учащихся сопровождаются последовательным показом серии рисунков.

Какой треугольник называется вписанным в окружность или какая окружность называется описанной около треугольника (рис.1)?

Рис.1.

Можно ли около произвольного треугольника описать окружность?

Как найти центр окружности, описанной около треугольника? (Рис.2) Что является радиусом? (Рис.3)

Всегда ли можно описать окружность около многоугольника? (Нет. Пример: ромб, если он не квадрат. Рис.4)

Можно ли описать окружность около правильного многоугольника? (Рис.5)

Рис.2.