Методика обучения школьников применению теории к решению задач на вычисление и доказательство по теме "Многоугольники"

1. В ромбе ABCD проведена диагональ BD. Найдите АВС если известно, что ABD = 20°.

1) 202) 703) 40 4) 140

4. Четырехугольник ABCD - трапеция. Используя данные, указанные на рисунке, найдите длину отрезка AD.

1) 152) 163) 17 4) 22

8. Найдите сторону ВС

треугольника BCD, если известно, что CD= =, AB = 30°, a D = 45°.

Ответ:

ЧАСТЬ 2

10. В прямоугольнике ABCD проведены биссектрисы углов А и D, которые пересекаются в точке на стороне ВС. Найдите периметр прямоугольника ABCD, если АВ =8.

Ответ:

13. В квадрате ABCD точка К - середина стороны ВС, точка М - середина стороны АВ. Докажите, что прямые АК и MD взаимно перпендикулярны, а треугольники АЕМ (Е - точка пересечения прямых АК и MD) и АВК подобны.

Часть 3

В равнобедренный треугольник ABC с основанием ВС вписана окружность. Она касается стороны АВ в точке М. Найдите радиус окружности, если АМ=12 и ВМ=18.

Высоты треугольника ABC пересекаются в точке Н, а медианы - в точке М. Точка К - середина отрезка МН. Найдите площадь треугольника АКС, если известно, что AB=18, СН=12, BAC = 45°.

Вариант 2

ЧАСТЬ 1

1. Диагональ трапеции образует с меньшим основанием угол, равный 42. Найдите величину угла, который эта диагональ образует с большим основанием. 1) 212) 583) 424) 138

2. Используя данные, указанные на рисунке, найдите площадь

параллелограмма.

1) 21м2

42 м2

34 м2

68 м2

Используя данные, указанные на рисунке, найдите периметр четырехугольника ABCD, если известно, что АВС =CBD.

Ответ:.

Часть 2

10. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее диагональ равна , а высота равна 2.

Ответ:

13. В ромбе ABCD из вершины тупого угла В к стороне AD проведена высоты ВК и к стороне CD - высота ВР. Докажите равенство треугольников АВК и СВР, и равенство углов КВР и BAD.

ЧАСТЬ 3

15. В треугольнике ABC проведены высоты AN и ВМ и отмечена точка К - середина стороны АВ. Найдите АВ, если известно, что ACB = 105°, а площадь треугольника MNK равна 4.

Кроме этого в содержании контрольных измерительных материалов по математике к итоговой аттестации выпускников входят задачи по планиметрии (в любом тесте это задачи В11). Приведем примеры таких задач:

2007г.

В11. Дан ромб ABCD с острым углом В. Площадь ромба равна 320, а синус угла В равен 0,8. Высота СН пересекает диагональ BD в точке К. Найдите длину отрезка СК.

В11. В ромбе ABCD синус острого угла С равен 0,6. Площадь ромба равна 135. Высота ВК пересекает диагональ АС в точке Р. Найдите длину отрезка РК.

В11. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС высоты ВМ и АН пересекаются в точке К, причем АК равно 5, КН равно 3. Найдите площадь треугольника ABC.

2008г.

В11. В параллелограмме ABCD биссектриса угла В пересекает сторону CD в точке Т и прямую AD в точке М. Найдите периметр треугольника АВМ, если ВС равно 15, ВТ равно 18, ТМ равно 12.

В11. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС высоты BE и СН пересекаются в точке К, причем ВН=6, КН=3. Найдите площадь треугольника СВК.

В11. Сторона правильного шестиугольника ABCDEF равна. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник МРК, если М, Р и К - середины сторон АВ, CD, EF соответственно.

2009г.

В11. В правильном шестиугольнике A1A2A3A4A5A6 сторона равна. Отрезок ВС соединяет середины сторон А3А4 и А5А6. Найдите длину отрезка, соединяющего середину стороны А1А2 с серединой отрезка ВС.

В11. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если AD=10, BD=8, a

отрезок, соединяющий вершину В с серединой стороны AD, равен VI5.

В11. Из вершины С параллелограмма ABCD проведен луч, который пересекает сторону AD в точке Т и диагональ BD в точке Р. Площадь треугольника CDP равна 10, а площадь треугольника DPT равна 8. Найдите площадь параллелограмма.

2010 г.

В4. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AK и BM (рис.1). Известно, что угол ABM равен 15°, а угол KAM равен 18°. Найти внешний угол BCD при вершине C.

Рис.1.

С4. Дан параллелограмм ABCD, AB = 2, BC = 5, A = 600. Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла. Найдите площадь четырёхугольника ABOD.

В4. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AK и BM (рис.1). Известно, что угол ABM равен 13°, а угол KAM равен 19°. Найти внешний угол BCD при вершине C.

С4. Дан параллелограмм ABCD, ABCD, AB = 3, BC = 7, A = 600. Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла. Найдите площадь четырёхугольника ABOD.

2011 г.

B4. В треугольнике АВС АС=ВС, АD - высота, угол BAD равен 280. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

B4. В треугольнике АВС АС=ВС, угол C равен 620. Найдите внешний угол CBD. Ответ дайте в градусах.

B4. В треугольнике ABC угол C равен 58◦, AD и BE - биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах