Методика обучения школьников применению теории к решению задач на вычисление и доказательство по теме "Многоугольники"

2. Т.к. А1В1=AB (по условию), то AB=A1B2 (из п.1), следовательно В2 совпадает с вершиной В1.

3. Т.к. B1A1C1 = BAC (по условию), то B2A1С2=BAC (из п.1), следовательно, B1A1C1 = B2A1С2

Тогда луч A1С2 совпадает с лучом A1C1.

4. AC= A1C1 (по условию), A1С2=AC (из п.1), следовательно A1C1= A1С2. Тогда вершина С2 совпадет с вершиной С1.

Таким образом, ∆АВС = ∆А1В1С1

Ч. т.д.

После доказательства теоремы о первом признаке равенства треугольников предлагаются задачи:

Задача 1. В каждой из изображенных на рисунке пар треугольников равные элементы треугольников указаны пометками. Какие треугольники равны по первому признаку?

Задача 2. Отрезки AR и ВН делят друг друга пополам в точке F. Доказать, что AB=RH.

3адача 3. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Чему равен отрезок BD, если отрезок АС=10м?

Дано: АВUCD=0,AO=OB, CO=OD, АС=10м.

Найти: BD.

Решение.

∆AOC=∆BOD (по I признаку равенства треугольников).

1) AOC = BOD - вертикальные углы.

2) ОА=ОВ и OC=OD (т.к. точка О - середина отрезков АВ и CD).

Из равенства треугольников АОС и BOD следует равенство их сторон

АС и BD. А т.к. АС=10м (по условию), то и BD=10m.

Ответ: BD=1 Ом.

3адача 4. На стороне ВС ∆АВС отмечена точка D, а на стороне B1С1 ∆А1В1С1 - точка D1, причем BAD=B1A1D1. Докажите, что если ∆ADC=∆A,D1C1, то ∆АВС=∆А1В1С1.

Дано: ∆АВС и ∆А1В1С1, BAD=B1A1D1, ∆ADC=∆A,D1C1.

Доказать: ∆ABC=∆A1B1C1.

Ч. т.д.

Затем учащимся можно предложить систему задач:

Докажите равенство треугольников ADC и ABC, изображенных на рисунке, если AD=AB и 1=2. Найдите: ADC и ACD, если ACB=380, ABC=1020.

2. Известно, что ∆АВС=∆А1В1С1, причем A=A1, B=B1. На сторонах АС и A1C1 отмечены точки D и D1 так, что CD=C1 D1. Докажите, что ∆CBD=∆C1B1 D1.

3. Известно, что ∆МКР=∆М1К1Р1 причем M=M1, K=K1. На сторонах MP и M1P1 отмечены точки Е и Е1 так, что МЕ=М1Е1. Докажите, что ∆МЕК=∆М1Е1К1.

4. Через середину О отрезка АВ проведена прямая, перпендикулярная прямой АВ. Докажите, что каждая точка X этой прямой одинаково удалена от точек А и В.

Аналогично рассматриваются доказательства II и III признаков.

Теорема 3.2 (признак равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам). Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема 3.3 (признак равенства треугольников по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

И можно привести следующую систему задач, направленную на выработку соответствующих умений и навыков:

1. В каждой из изображенных на рисунке пар треугольников равные элементы треугольника указаны пометками. Какие треугольники равны по II признаку, а какие равны по III признаку?

2. В треугольниках МРК и XYZ РМК=ZYX, MKP= YXZ и сторона РК равна стороне XY. Докажите равенство сторон РК и ZX.

3. На рисунке AB=CD и BD=AC. Докажите, что:

a) CAD =ADB;

б) BAO = CDB.

4. В треугольнике DEC и D1E1С1 DE= D1E1, D=D1, E=E1. На сторонах DE и D1E1 отмечены точки Р и P1 так, что DCP= D1С1 P1. Докажите, что:

a) ∆DCP=∆D1C1P1;

б) ∆СРЕ=∆С1Р1Е1.

5. На рисунке, треугольник MNP равнобедренный с основанием MP, точка К - середина отрезка MP, MKE=PKF. Докажите, что ∆NEK=∆NFK.

Методика введения понятия теоремы обратной данной

В учебнике "геометрия 7-11" А.В. Погорелова после доказательства теорем Т.3.3 ("В равнобедренном треугольнике углы при основании равны") §3 "Признаки равенства треугольников" п.23 "Равнобедренный треугольник" и Т.3.4 ("Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный"), того же параграфа п.24 "Обратная теорема", говорится, что Т.3.4 называется обратной Т.3.3.