Частично насыщенные формации с заданной структурой подформаций

и в модулярной решетке длина любой ее подрешетки не превосходит длину самой решетки, то . Лемма доказана.

Лемма. Пусть и --- width=16 height=14 src="images/referats/3081/image001.png">-насыщенные формаций, причем . Тогда если , и --- соответственно -дефекты формаций и и , то .

Лемма. Пусть и --- -насыщенные формации, причем . Тогда в том и только в том случае имеет конечный -дефект , когда в имеется максимальная -насыщенная подформация с и в нет ни одной максимальной -насыщенной подформации с

Доказательство. Достаточность. Предположим, что . Тогда, поскольку имеет место решеточный изоморфизм,

и, согласно условию, , получаем . Значит, если --- такая максимальная подформация в , что , то . Противоречие. Значит, . Поэтому . Следовательно, .

Необходимость. Если --- такая максимальная подформация формации , что , то очевидно, . Предположим, что в имеется максимальная подформация такая, что

Тогда . Следовательно,

Поэтому, согласно лемме ,

Полученное противоречие завершает доказательство леммы.

-Насыщенные формации с -нильпотентным дефектом 1

Проблема классификации формаций того или иного вида является одной из основных задач теории формаций. Как известно, существенную роль в реализации задачи классификации насыщенных формаций играют так называемые минимальные насыщенные не -формации (или иначе -критические формации). Впервые особая роль минимальных насыщенных не -формаций была отмечена Л.А.Шеметковы в его докладе на VI симпозиуме по теории групп . Там же им была поставлена задача изучения такого рода формаций.

Стремительно развивающаяся в последние годы теория частично насыщенных формаций, наряду с разработкой новых специфических методов исследования, активно использует методы и конструкции, развитые в теории насыщенных формаций. Одним из таких методов является метод критических формаций. Благодаря которому, результаты о минимальных насыщенных не -формациях широко использовались при решении различных вопросов теории насыщенных формаций.

Пусть --- холловская -подгруппа группы . Группу называют -нильпотентной, если нормальная подгруппа в группе .

Группу называют -нильпотентной, если она -нильпотентна для любого .

Обозначим через --- формацию всех -нильпотентных групп.

Определение. Пусть --- некоторая -насыщенная формация. -Дефект формации называют -нильпотентным дефектом.

 Скачать реферат