Частично насыщенные формации с заданной структурой подформаций

1) всякая разрешимая подформация из входит в ;

2) всякая неразрешимая -насыщенная подформация из имеет вид

Следующее утверждение является следствием леммы .

Лемма. Пусть --- произвольная -насыщенная неразрешимая формация. Тогда в имеется по крайней мере одна минимальная -насыщенная неразрешимая подформация.

Лемма. Тогда и только тогда --- минимальная -насыщенная неразрешимая формация, когда , где --- такая монолитическая группа с неабелевой минимальной нормальной подгруппой , что группа разрешима.

Лемма. Пусть --- некоторый набор минимальных -насыщенных неразрешимых формаций, --- -насыщенная разрешимая формация. Тогда если --- некоторая минимальная неразрешимая подформация из

то .

Доказательство. Пусть выполняются условия леммы и , --- некоторая минимальная -насыщенная неразрешимая подформация формации . Покажем, что тогда .

Ввиду леммы , где --- такая монолитическая группа с неабелевой минимальной нормальной подгруппой , что группа разрешима.

Тогда

Поскольку --- неабелева группа, то . Но тогда по лемме имеем . Так как , то найдется такое , что . Значит, . Поскольку --- минимальная -насыщенная неразрешимая формация, то . Лемма доказана.

Лемма. Пусть --- произвольная неразрешимая -насыщенная формация. Тогда и только тогда формация --- атом решетки , когда , где --- некоторая минимальная -насыщенная неразрешимая формация из .

Доказательство. Необходимость. По условию леммы длина решетки равна . Следовательно, формация обладает разрешимой максимальной -насыщенной подформацией. Применяя лемму , имеем , где --- некоторая минимальная -насыщенная неразрешимая подформация из .

Достаточность. Предположим противное. Пусть найдется такая -насыщенная формация , что

Так как не содержится в , то по лемме формация обладает минимальной -насыщенной неразрешимой формацией . Тогда

Следовательно, ввиду леммы имеем . Значит,

Противоречие. Таким образом, --- атом решетки . Лемма доказана.

Лемма. Пусть --- произвольная -насыщенная формация и пусть --- некоторый набор -насыщенных неразрешимых подформаций из , у которых --- максимальная -насыщенная подформация. Пусть

 Скачать реферат