Частично насыщенные формации с заданной структурой подформаций

где --- набор всех минимальных -насыщенных неразрешимых формаций, содержащихся в . Лемма доказана.

Теорема. Пусть ght=17 src="images/referats/3081/image029.png">--- некоторая -насыщенная неразрешимая формация и --- множество всех минимальных -насыщенных неразрешимых подформаций из . Тогда и только тогда --- решетка с дополнениями, когда

Доказательство. Необходимость. Пусть --- решетка с дополнениями. И пусть --- произвольная неразрешимая группа, принадлежащая . Обозначим через .

Пусть --- множество всех неразрешимых формаций из .

Из теоремы и леммы следует, что является модулярной решеткой.

Очевидно, что --- подрешетка решетки . Следовательно, по лемме получаем, что --- решетка с дополнениями.

Ввиду леммы , имеем, что --- модулярная решетка. Поэтому имеет место решеточный изоморфизм

Таким образом, --- решетка с дополнениями. Тогда, применяя лемму , получаем

Так как

то, в силу произвольности выбора группы , получаем

Достаточность. Пусть теперь . Пусть --- произвольная -насыщенная формация, принадлежащая решетке , т.е. .

Обозначим через множество всех минимальных -насыщенных неразрешимых подформаций, содержащихся в , а через --- множество всех минимальных -насыщенных неразрешимых подформаций, не содержащихся в . Очевидно, что множество является дополнением к множеству во множестве всех -насыщенных неразрешимых подформаций, содержащихся в . Пусть --- -насыщенныя формация, порожденная множеством , а --- -насыщенная формация, порожденная множеством . Поскольку и , то ввиду леммы имеют место равенства

Допустим, что не содержится в , то есть . Тогда по лемме в имеется минимальная -насыщенная неразрешимая формация . По лемме для некоторого . Следовательно, . Но . Противоречие. т.е. . Но в таком случае . Ввиду леммы и произвольности выбора формации , каждый элемент решетки представим в виде объединения содержащихся в нем атомов.

Покажем теперь, что в решетке дополняема каждая -насыщенная формация. Если , то дополнением к в решетке является формация . Итак, можем считать, что . Обозначим через множества всех атомов решетки , через --- множества всех атомов решетки , которые содержатся в . Тогда , иначе, ввиду доказанного выше,

 Скачать реферат