Частично насыщенные формации с заданной структурой подформаций

Если и равны , то из теоремы вытекает

2. Пусть --- некоторая насыщенная формация. Тогда в том и только в том случае нильпотентный дефект

формации равен 1, когда , где --- насыщенная нильпотентная подформация формации , --- минимальная насыщенная ненильпотентная подформация формации , при этом:

1) всякая нильпотентная подформация из входит в ;

2) всякая насыщенная ненильпотентная подформация из имеет вид .

Если , то вытекает

3. Пусть --- некоторая насыщенная формация. Тогда в том и только в том случае -нильпотентный дефект формации равен 1, когда , где --- насыщенная -нильпотентная подформация формации , --- минимальная насыщенная не -нильпотентная подформация формации , при этом:

1) всякая -нильпотентная подформация из входит в ;

2) всякая насыщенная не -нильпотентная подформация из имеет вид .

РЕШЕТКА - НАСЫЩЕННЫХ ФОРМАЦИЙ С ДОПОЛНЕНИЯМИ

-Насыщенные формации, у которых решетка является решеткой с дополнениями

Изучение -насыщенных формаций, имеющих заданную подрешетку с дополнениями, начато в работах --.

В этом разделе устанавливается тот факт, что тогда и только тогда --- решетка с дополнениями, когда формация представима ввиде объединения всех своих минимальных -насыщенных неразрешимых подформаций и .

Напомним, что группа называется , если она обладает нормальным рядом с абелевыми факторами.

Пусть --- некоторая -насыщенная формация. Тогда через обозначим следующее пересечение , где --- формация всех разрешимых групп.

Определение. Пусть - решетка с и , . Тогда элемент называется дополнением элемента в , если и . Решетку с нулем и единицей называют решеткой с дополнениями, если каждый ее элемент имеет дополнение.

Определение. Решетка с и называется решеткой с относительными дополнениями, если каждый ее интервал является решеткой с дополнениями.

Лемма. Любая модулярная решетка с дополнениями является решеткой с относительными дополнениями.

Лемма. Любая модулярная решетка с дополнениями, имеющая конечное число атомов, является решеткой конечной длины.

Лемма. В решетке конечной длины с относительными дополнениями каждый элемент является объединением содержащихся в нем атомов.

Определение. Пусть --- некоторая -насыщенная формация. -Дефект формации называют разрешимым дефектом.

Лемма. Пусть --- -насыщенная формация. Тогда и только тогда разрешимый дефект формации равен , когда , где --- разрешимая -насыщенная формация, --- минимальная -насыщенная неразрешимая формация, при этом:

 Скачать реферат