Частично насыщенные формации с заданной структурой подформаций

Определение. Цепью -локальных спутников называют такую совокупность -локальных спутников , что либо ,либо , где , .

Лемма. Пусть --- цепь формаций, --- такая цепь -локальных спутников, что и для всех имеет место в точности тогда, когда для всех . Тогда , где для каждого .

Доказательство. Пусть --- цепь формаций и --- такая цепь -локальных спутников, что , причем для всех выполнено в точности тогда, когда для любого .

Пусть . Т.е. существует номер такой, что . Следовательно, для любого и . Тогда

для любого и

Это означает, что .

Пусть теперь . Следовательно,

для любого и

Тогда существует такой номер , что для любого и . Тогда получаем, что . Следовательно, . Лемма доказана.

Лемма. Если = и , для некоторого , то .

Доказательство. Прежде заметим, что поскольку , то . А поскольку и для всех имеет место

то и . Значит, . Лемма доказана.

Определение. Непустое множество формаций называют полурешеткой формаций, если пересечение любого множества из снова принадлежит .

Определение. Пусть --- формация, имеющая -локальный спутник . Если является минимальным (максимальным) элементом множества всех -локальных спутников формации , то называют минимальным (соответственно максимальным) -локальным спутником формации .

Пусть --- полурешетка формаций. Если формация обладает -локальным спутником , то формация обладает -локальным спутником . Значит, множество всех тех формаций, которые имеют хотя бы один -локальный спутник, является полурешеткой формаций.

Пусть --- некоторый класс групп. Через обозначают пересечение всех тех -насыщенных формаций, которые содержат , т.е. --- наименьшая -насыщенная формация, содержащая формацию . В частности, если , то пишут form.

 Скачать реферат