Частично насыщенные формации с заданной структурой подформаций

Полагают, , .

Через обозначают наибольшую нормальную -подгруппу группы .

Лемма. Пусть --- нормальная подгруппа группы .

1. Если --- -группа, то .

2. Если , то .

Для произвольного -локального спутника

Лемма. Пусть , где и . Тогда либо , либо найдется такое число , что .

Доказательство. Пусть и для всех . Первое соотношение влечет . Пусть . Тогда и . Значит, для всех имеет место включение . Следовательно, . Полученное противоречие доказывает лемму.

Определение. Если формация такова, что , то говорят, что является -локальной, а --- ее -локальный спутник. Если при этом все значения таковы, что для любого , то называется внутренним -локальным спутником.

Пример. Пусть --- формация, содержащаяся в , и --- такой -локальный спутник, что и для любого . Тогда, очевидно, . Таким образом, всякая подформация формации является -локальной. Отсюда, в частности, следует, что пустая формация и формация единичных групп являются -локальными для всех .

Определение. Насыщенной называют такую формацию , что для любой группы с всегда следует .

Определение. Формацию называют -, если ей принадлежит всякая группа , для которой , где . В частности, если , то -насыщенные формации называют -насыщенными.

Определение. Пусть --- произвольная совокупность групп, --- некоторое простое число. Полагают

Пусть и --- некоторые -насыщенные формации. Тогда через обозначают класс групп, равный .

Вместо пишут .

Следующая теорема для -локальных формаций является аналогом известной теоремы Гашюца--Любезедер--Шмида , , .

Теорема. Пусть --- формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

Формация -насыщенная;

 Скачать реферат