Частично насыщенные формации с заданной структурой подформаций

Минимальным -локальным -спутником формации называют ее -локальный -спутник mg width=16 height=21 src="images/referats/3081/image004.png">со следующими значениями:

Лемма. Пусть --- минимальный -локальный -спутник формации , . Тогда включение имеет место в том и только том случае, когда .

Лемма. Пусть --- минимальный -локальный -спутник формации , . Тогда --- минимальный -локальный -спутник формации .

Теорема. Решетка всех -насыщенных формаций является алгебраической.

Доказательство. По лемме является полной решеткой. Поскольку каждая -насыщенная формация, очевидно, является решеточным объединением своих однопорожденных -насыщенных формаций, то для доказательства теоремы достаточно показать, что каждая однопорожденная -насыщенная формация является компактным элементом в .

Пусть --- некоторая однопорожденная -насыщенная формация, --- -насыщенная формация, содержащая , где --- -насыщенная формация, .

Пусть --- минимальный -локальный -спутник формации , --- минимальный -локальный -спутник формации , --- минимальный -локальный -спутник формации . Согласно определению минимального -локального -спутника формации

для всех и

Ввиду леммы . Согласно лемме

Ввиду алгебраичности решетки всех формаций (см. ) для каждого фиксированного существует конечное число индексов () таких, что

И существует набор индексов , ., таких, что

Тогда . Таким образом

Итак, решетка всех -насыщенных формаций алгебраична, и ее компактными элементами являются однопорожденные -насыщенные формации. Теорема доказана.

Следствие 1. Решетка всех -насыщенных формаций является алгебраической.

Следствие 2. Решетка всех насыщенных формаций является алгебраической.

Определение. Решетка называется модулярной, если для любых элементов , , решетки таких, что выполняется .

Теорема. Решетка всех -насыщенных формаций модулярна.

Доказательство. Пусть , , --- -насыщенные формации и кроме этого . Покажем, что

 Скачать реферат