Частично насыщенные формации с заданной структурой подформаций

Поскольку, в силу теоремы ,

где , то получаем, что --- максимальная -насыщенная формация в .

С другой стороны,

Но тогда максимальна в .

А, значит, по лемме формация максимальна в и . Так как в и имеется единственная максимальная подформация, то

Поскольку , то

Но . Поэтому . Таким образом .

Так как --- абелева -группа, где и , то

где --- группа порядка .

Понятно, что . Значит,

В силу теоремы заключаем, что

Заметим, что

Действительно, пусть

где --- группа минимально порядка и --- минимальная нормальная подгруппа в . Если не является -группой, то, так как , имеем . Значит . Противоречие.

Поэтому --- -группа. Так как при этом и , то --- группа порядка . Но тогда . Противоречие.

Таким образом,

Значит,

Но . Следовательно . Таким образом,

По лемме --- гомоморфный образ группы из . Следовательно . Последнее влечет . Противоречие.

Таким образом, в формации нет минимальных -насыщенных не -нильпотентных подформаций, отличных от .

Пусть теперь --- произвольная не -нильпотентная -насыщенная подформация из . Тогда в силу уже доказанного и леммы получаем, что . Следовательно, применяя лемму и модулярность решетки -насыщенных формаций, получаем

Теорема доказана.

Если , а --- множество всех простых чисел, то из теоремы вытекает

1. Пусть --- некоторая -насыщенная формация. Тогда в том и только в том случае нильпотентный дефект формации равен 1, когда , где --- -насыщенная нильпотентная подформация формации , --- минимальная -насыщенная ненильпотентная подформация формации , при этом:

1) всякая нильпотентная подформация из входит в ;

2) всякая -насыщенная ненильпотентная подформация из имеет вид .

 Скачать реферат