Построение модели организационной структуры фирмы

βR(t)=WM(t)+WavL(t)+dKсоб(t)+K’соб(t)+p(t)Kсоб(t) (2.5)

0<δ<1;

p(t)³ pc;

pc—доля оборота банка, идущая его собственнику в виде платы за акции;

WM—оплата труда менеджера;

Wav—средняя стоимость единицы труда;

dKсоб(t)—амортизация капитала;

d—уровень амортизации капитала Kсоб(t);

K’соб(t)—величина прироста собственного капитала;

β—норма

отчислений на продолжение и расширение деятельности;

p(t)—прибыль держателей акций, если p(t)>0 и их потери, если p(t)<0 в расчете на единицу вложений.

Зарплата управляющего зависит от размеров банка, точнее от размеров собственного капитала банка и затрат труда ( численности работнико):

WM= CmL(t)Wav+gKсоб(t); (2.6)

0<g<1,

0 < g+d < 1,

Cm>0,

где Cm и g—доли от фонда заработной платы и собственного капитала, на основе которого формируется оплата управляющего.

Перепишем целевой функционал (2.1), используя формулы ( 2.2 )-(2.6 )

при условиях

bR(t) =WM+WavL(t)+dKсоб(t)+K’соб(t)+p(t)Kсоб(t); (2.8)

0 < g+d+p< 1,

CM>0,

p(t)³ pc;

Kсоб ( 0 ) = K0соб, K0соб>0;

L ( 0 ) = L0 , L0 >0.

Здесь K0соб —собственный капитал банка в момент времени t0;

L0 —пределные затраты труда в начальный момент времени t0 ( начальное количество работников );

В модели (2.7)-(2.8) прибыль p(t) отрицательно влияет на подынтегральную функцию в (2.7), поэтому мы можем положить p(t)= pc , имея в виду максимизацию целевого функционала (2.7).

Итак, получаем задачу

при условиях

bR(t) =WM+WavL(t)+dKсоб(t)+K’соб+p(t)Kсоб(t)

0 < g+d+p< 1,

p(t)=pc ,

CM>0,

Kсоб ( 0 ) = K0соб, K0соб>0;

L ( 0 ) = L0 , L0 >0.

Таким образом, построенная задача является задачей оптимального управления с фазовыми переменными K(t) и управляющими параметрами L(t) и μ.

Для математического анализа построенной модели, используя функцию Лагранжа, составляем систему уравнений Эйлера-Лагранжа. Решая данную систему, получим:

Так как производственная функция F( K, L)—непрерывная, неубывающая, вогнутая вверх, однородная функция первого порядка однородности, то функция j(K/L), полученная из функции F(K , L), удовлетворяет следующим свойствам:

1) j’(k(t))>0,

2) j’’(k(t))<0,

3) j’(k(t))®¥, при k®0,

4) j’(k(t)) ®0, при k®¥

Для упрощения преобразований введем в рассмотрение следующую функцию:

z(k)= [ρ+(1-ρ)k-η]-(η+1)/ η(-ρ).

Тогда проводя дальнейшие преобразования, используя соотношение (2.5), а также систему уравнений Эйлера-Лагранжа, составленную для задачи (2.3)-(2.4), учитывая также введенную функцию z(k), приходим к следующему равенству:

где U=β[ρ+(1-ρ)k-η]-(η+1)/η(-ρ)+Wav(1+Cm);

V=[r+(1-r)k-η]-(η+1)/η(-r)[βαγ+(1-α+αμ)(γ+δ+πc)+(1- α+αμ)r]+Wav(1+Cm)((1- α+αμ)(1-r)[r+(1-r) k-η]-(η+1)/ηk-η-1+αγ)- α Cm(γ+δ+πc)- β[r+(1-r)k-η]-(η+1)/η(1-ρ)+r).

Осуществляя далее качественный анализ полученной модели подобно тому, как представлено в первом разделе, мы делаем вывод о существовании единственного корня уравнения U=0 и единственного корня уравнения V=0. Таким образом, существуют корни k1(α,μ, β) и k2(α,μ, β), определяющие поведение оптимального решения k(t).

Далее введем некоторые упрощающие предположения. Будем считать, что задана предельная норма замещения трудовых ресурсов капиталом. Для функции CES она имеет вид:

, т. е.

В этом случае уравнение (2.10) примет вид:

Введем обозначение

Дифференциальное уравнение (2.12) запишем в вид K’(t)-K(t) ξ=0. Из которого легко получить численное выражение для величины капитала банка. Таким образом, можно сформулировать следующее утверждение.

Утверждение

Пусть имеется задача оптимального управления банком вида (2.1)-(2.2), объем оборота банка формируется на основе производственной функции CES, т. е. F(L,Kсоб)=[ρL-η+(1-ρ)K-ηсоб]-1/η , где 0<η<1 и задана предельная норма замещения b трудовых ресурсов капиталом. Тогда задача оптимального управления банком (1)-(2) разрешима и величина капитала рассматриваемого банка в момент времени t равна:

K(t)=Cetξ ,

где С=К0=const,

В [15] были сформулированы теоремы, в которых представлены формулы для вычисления оптимальной доли управляющего μ в обороте банка. Приведем их.

Теорема 1.

Пусть выполнены условия:

1)z(k(t))≤0, tє[0, .,T], z(k(0))<0;

2)| z(k(0)) | ≥(Cm+1)Wav;

3) k’(t)≥0, t;

4) k(T)=k1,

т. е. закреплен правый конец фазовой кривой. Тогда оптимальное значение μ* существует и определяется следующим образом

μ*=1+

Теорема 2.

Пусть выполнены условия:

1)z(k(t))≥0, tє[0, .,T];

2) ≤z(k(T)) ≤;

3) k’(t)≥0, t.

Тогда оптимальное значение μ* существует и определяется следующим образом

μ*=

Пример вычисления оптимальной доли μ* управляющего в обороте банка

Пусть имеются следующие данные:

Wav=50,

Cm=0,06,

ρ=0,37,

η=0,25,

K0=150.

Решая данную задачу в среде Excel, воспользовавшись формулой μ*=получим μ*=0,087.

Таким образом, нами была поставлена и решена задача выбора оптимальной стратегии эффективной работы банка. Корме того, нам удалось сформулировать утверждения, позволяющее в аналитическом виде выразить величину капитала рассматриваемого экономического объекта и рассчитать долю управляющего в общем обороте банка.

 Скачать реферат