Построение модели организационной структуры фирмы

(2.5)

где

-фазовый вектор

-векторная функция, кусочно непрерывная по совокупности переменных и непрерывно дифференцируема по x.

В пространстве задано множество U-допустимых значений управляющего параметра u; в фазовом пространстве заданы точки x0 и x1; фиксирован начальный момент времени.

Допустимым управлением является любая кусочно-непрерывная функция u(t), t0≤t≤t1, со значениями в пространстве U. Говорят, что допустимое управление u=u(t) переводит фазовую точку из положения x0 в положение x1 , если соответствующее ему решение x(t) системы (2.5), удовлетворяющее условию x(t0)=x0 определено при всех tє[t0,t1] и x(t1)= x1 .Среди всех допустимых управлений, переводящих фазовую точку из положения x0 в положение x1 , требуется найти оптимальное управление—функцию u(t), минимизирующую функционал:

(2.6)

Здесь -заданная функция того же класса, что и компоненты f(x,u);

x(t)—решение системы (2.5) с начальными условиями x(t0)=x0, отвечающие управлению u(t); t1—момент прохождения этого решения через точку x1.

Под решением задачи понимают пару, состоящую из оптимального управления u*(t) и отвечающей ему оптимальной траектории x*(t) системы (2.5).

Пусть

H(ψ,x,u)=(ψ,f(x,u)) скалярная функция (гамильтониан) переменных ψ,x,u, где

Функции H(ψ,x,u) ставится в соответствие каноническая (гамильтонова) система (относительно ψ и x)

(2.7)

Первое из этих уравнений есть система (5). Пусть

M(ψ,x)=sup{H(ψ,x,u)‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌, uєU‌‌}.

Принцип максимума Понтрягина:

Если u*(t), x*(t) (tє[t0,t1])—решение задачи оптимального управления (5),(6) и управление u(t) переводит фазовую точку x0 в точку x1, то существует такая ненулевая абсолютно непрерывная функция ψ(t), что тройка ψ(t), x*(t), u*(t) удовлетворяет на [t0,t1] системе (7) и для всех tє[t0,t1) выполняется условие максимума:

H(ψ(t),x*(t),u*(t))=M(ψ(t),x*(t)),

а в конечный момент времени t1—условие

M(ψ(t1),x(t1))=0, ψ0≤0.

Принцип максимума Понтрягина является основой для качественного анализа задач оптимального управления.

2.2. Основные свойства и виды производственной функции

Производственная функция—это функция, независимые переменные которой принимают значения объемов затрачиваемых или используемых ресурсов (число переменных равно числу ресурсов), а значение функции имеет смысл величин объемов выпуска:

y=f(x)=f(x1, .,xn).

Производственная функция называется статической, если ее параметры и ее характеристика f не зависят от времени t.

Производственная функция называется динамической, если:

1) время t фигурирует в качестве самостоятельной переменной величины (как бы самостоятельного фактора производства), влияющего на объем выпускаемой продукции;

2) параметры производственной функции и ее характеристика f зависят от времени t.

При построении производственной функции научно-технический прогресс (НТП) может быть учтен с помощью введения множителя ept , где параметр p (p>0) характеризует темп прироста выпуска под влиянием НТП.

Свойства производственной функции:

1) f(0,0)=0, т. е. без ресурсов нет выпуска;

1’) f(0,x2)=f(x1,0)=0, т. е. при отсутствии хотя бы одного ресурса нет выпуска;

2) свойство монотонности

x(1)≥x(0) (x(1)≠x(0)) → f(x(1)>f(x(0)), т. е. с ростом затрат хотя бы одного ресурса объем выпуска растет;

2’) x>0 → (i=1,2), т. е. с ростом затрат одного ресурса при неизменном количестве другого объем выпуска растет;

3) закон убывающей эффективности

x>0 → (i=1,2), т. е. с ростом затрат одного ресурса (i-ого) при неизменном количестве другого величина прироста выпуска на каждую дополнительную единицу i-ого ресурса не растет;

3’) x>0 → , т. е при росте одного ресурса предельная эффективность другого возрастает;

4) свойство однородности

f(tx1,tx2)=tp , р—степень. При р>1 с ростом производства в t раз объем выпуска возрастает в tp раз, т. е. имеем рост эффективности производства от роста масштаба производства. При p<1 имеем падение эффективности производства от роста масштабов.

Пусть y=f(x)—производственная функция.

Mi=называется предельной производительностью i-ого ресурса.

Ai=называется средней производительностью i-ого ресурса.

Ei=называется эластичностью выпуска по i-му ресурсу.

Предельной нормой замещения i-ого ресурса j-м называется выражение

(i,j=1,2)

при постоянном y.

Основные виды производственных функций:

1) Линейная производственная функция.

y=a0+a1x1+ .+anxn.

2) Функция Леонтьева

y=min(aK,bL).

3) Функция Кобба-Дугласа

y=a0Kα1Lα2 ,здесь K—объем основного капитала, L—затраты живого труда, α1 и α2 –весовые коэффициенты.

4) Функция с постоянной эластичностью замещения (CES)

y=A(uK-p+(1-u)L-p)-n/p. Здесь n>0—степень однородности; p>=-1; A>0; 0<u<1; эластичность замещения равна 1/(1+p).

Применение производственных функций в экономических задачах крайне широко. В данной работе при построении и качественном анализе задачи оптимального управления динамическими системами использовались производственные функции, наиболее распространенные в практике экономики.

§3. Простейшая модель выбора стратегии эффективного функционирования динамических систем с рентноориентированным управлением

Одно из возможных направлений рентноориентированного управления фирм является направление деятельности управляющего в русло интересов фирмы. Реальным способом установления таких условий, при которых интересы собственников фирмы и её управляющего совпадают, является материальное стимулирование деятельности последнего. Среди наиболее распространенных способов этого можно назвать установление минимальной оплаты труда и выплаты комиссионных в зависимости от объема и качества выполненной управляющим работы. Эти вопросы рассматривались во многих работах [ см. напр. 6,7,8,9,10 и др.]. В большинстве работ задача сопряжения интересов собственника и управляющего рассматривается как задача оптимального управления с фазовой переменной—объема используемого капитала и управляющим параметром—величиной дополнительных стимулирующих выплат управляющему. Причем, как правило, отсутствует учет работы фирмы в условиях привлечения заемных средств на проведение текущей производственной деятельности и развитие. Необходимость использования источников дополнительных средств приводит к значительному изменению как характера стимулирования, так и способов определения величины материальных выплат за выполнение большего объема работ и лучшего качества.

 Скачать реферат