Контроль знаний учащихся при изучении линии уравнений в основной школе

В 8-м классе учащиеся приобретают навыки решения квадратных (неполных, общего вида, приведенных) и рациональных уравнений (биквадратных; «распадающихся»; уравнения, одна часть которого алгебраическая дробь, а другая – нуль) и применяют полученные знания при решении задач. Помимо данных уравнений изучают комплексные уравнения, уравнения прямой и окружности. В конце курса 8-ого класса учащиеся р

ешают системы рациональных уравнений первой и второй степени, причем, с тремя неизвестными, а также решают задачи, составляя системы уравнений. Отметим, что в качестве способа решения систем уравнений активно используется графический метод.

В курс 9-ого класса включены лишь упражнения на решение различных видов уравнений, никаких новых сведений о линии уравнений учащиеся не получают.

Таким образом, материал в учебниках [9], [10], [39] расположен так, что отдельные темы программы изучаются один раз и в полном объеме, чтобы потом к ним не возвращаться в теоретической части учебника. Дальнейшее закрепление и повторение, а иногда и развитие изученного ведется через линию упражнений. Изложение материала связное – подряд излагаются большие темы, нет мелких вопросов, нарушающих логику изложения тем. Основной методический принцип, положенный в основу изложения теоретического материала и организации системы упражнений, заключается в том, что ученик за один раз должен преодолевать не более одной трудности. Поэтому каждое новое понятие формируется, каждое новое умение отрабатывается сначала по отдельности, потом трудности совмещаются. Сложность заданий в каждом пункте нарастает линейно. Упражнения выстроены по нарастанию сложности и не перебиваются упражнениями на другие темы. Важную роль в формировании первоначальных представлений о зарождении и развитии науки играют исторические сведения, завершающие каждую главу учебника. Учебники [9], [10], [39] нацелены на повышенный уровень математической подготовки учащихся, но их можно использовать в классах с обычной программой по математике.

Анализ учебников для классов с углубленным изучением математики

Проанализируем учебники [7], [8], [16], [17], [11], [12], так как данные учебники предназначены для классов с углубленным изучением математики и в них описаны иные подходы к изучению материала и значительно расширено содержание.

В учебнике [7] содержатся 18 параграфов, охватывающих все основные темы общеобразовательного курса алгебры в 7-м классе, и ряд дополнительных вопросов. Учебник дает возможность достаточно обстоятельно рассмотреть теоретические вопросы и предложить учащимся широкий круг упражнений, различных по уровню сложности. Что касается конкретного материала по теме «Уравнения», то он достаточно объемный и содержит упражнения различной степени сложности. В данном курсе изучаются уравнение с одной переменной и его корни, равносильные уравнения, линейные уравнения и уравнения, сводящиеся к линейным, уравнения с модулем и задачи на составление уравнений.

Далее, после изучения глав «Разложение многочленов на множители» и «Формулы сокращенного умножения», продолжается изучение линии уравнений (несмотря на то, что упражнения на решение уравнений различной степени сложности в этих главах также присутствуют) в главе «Системы линейных уравнений». В данной главе для решения предлагаются упражнения на решение уравнений с двумя переменными в целых числах, на решение систем уравнений различными способами (в том числе системы уравнений с тремя переменными) и задачи на составление уравнений.

В учебнике [8] в отличие от учебника [7] тема «Уравнения» изложена в отдельной главе «Квадратные уравнения», которая изучается в конце курса 8-ого класса. В данной главе также как и в учебниках для классов общеобразовательных учреждений изложен теоретический материал о квадратных уравнениях и его корнях, о решении дробно-рациональных уравнений. Однако изложение достаточно обстоятельно и представлен большой набор разнообразных по тематике и уровню сложности упражнений (например, упражнения на решение параметрических уравнений, уравнений с модулем, на применение обратной теоремы Виета, упражнения на доказательство).

Отметим, что в тему «Квадратные уравнения» дополнительно включен вопрос о выражениях, симметрических относительно корней квадратного уравнения.

Учебник [16] отличается, прежде всего, более углубленным изучением соответствующих вопросов курса (изъяты слишком простые примеры и рассуждения, добавлены более сложные и интересные примеры). Материал по теме исследования написан в русле той концепции, которая использована в учебнике [14], с соблюдением практически того же порядка следования параграфов, но с естественным расширением материала. По оглавлению сразу можно выделить дополнительный материал: алгоритм извлечения квадратного корня, уравнения высших степеней, уравнения с модулями и параметрами. Система задач, также как в учебнике [8], разнообразна по содержанию и уровню сложности.

Учебник [17] является продолжением учебника [16] и написан на базе учебника [15]. Единственное отличие заключается во включении в курс дополнительного материала по теме исследования: задачи с параметрами, специальные методы решения систем уравнений (включая системы с тремя, четырьмя переменными), однородные, иррациональные, симметрические системы, системы с модулями. Соответственно и система задач значительно шире.

В учебник [11] включены упражнения на решение дробно-рациональных и кубических уравнений, неопределенных уравнений первой степени, используется метод разложения на множители, формулы сокращенного умножения, метод выделения полного квадрата, основное свойство пропорции, наибольший общий делитель коэффициентов и так далее. Система задач включает уравнения более высокого порядка, так как учащиеся при выполнении заданий могут пользоваться теоремой о делении многочлена на многочлен с остатком, теоремой Безу о корнях многочлена, теоремой о симметрических многочленах от двух переменных. Соответственно и система задач более сложная и трудоемкая. Несмотря на то, что уравнения различной степени сложности включены в каждую тему, рассматриваемую в данном учебнике, они находят свое отражение в отдельной главе «Квадратные уравнения. Системы нелинейных уравнений». В данной главе вводится определение понятия квадратного и приведенного уравнения, корней уравнения, формула нахождения корней через дискриминант и по теореме Виета (в том числе и для многочленов высших степеней). Отметим, что система задач включает упражнения на составление уравнений по известным корням и их кратности, упражнения на решение уравнений с параметрами, упражнения на доказательство, упражнения на нахождение суммы, произведения, разности корней уравнения, не решая данное уравнение, на определение знака корней, задачи на составление уравнений.

Отметим, что в курсе алгебры 8-ого класса учащиеся учатся решать возвратные и однородные уравнения, симметрические системы уравнений и системы уравнений с параметрами и модулем. Помимо методов, известных из курса алгебры общеобразовательной школы, учащиеся при решении уравнений часто прибегают к использованию графического метода решения уравнений.