Контроль знаний учащихся при изучении линии уравнений в основной школе

Примечательно то, что при решении уравнений учащиеся могут пользоваться не только основными свойствами, но и методами, которые используются в учебниках [11], [12].

В 8-м классе учащиеся решают квадратные уравнения (в том числе неполные и приведенные уравнения), пользуясь приемом выделения квадрата двучлена, методом замены переменной, методом разложения на множители, теоремой Виета. Систем

а задач по теме «Квадратные уравнения» включает разнообразные задачи: задачи на оперирование основными понятиями, задачи на составление уравнений, задачи на заполнение пропусков в уравнении и другие.

Примечательно, что в учебнике [37] находит отражение формула нахождения корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом (1) и формула нахождения корней приведенного квадратного уравнения (2):

(1)

(2)

Далее учащиеся закрепляют навыки решения уравнений при решении различных систем уравнений и задач.

В курсе 9-ого класса учащиеся решают уравнения с модулем, целые, рациональные, иррациональные, дробные уравнения, уравнения с параметром, задачи на составление уравнений, системы уравнений с двумя переменными. Отметим, что в учебнике [38] для нахождения корня уравнения используется графическое исследование уравнений.

Таким образом, в учебном пособии [38] охвачен более широкий класс уравнений, чем в учебниках других авторов, а в главу «Повторение» включены все виды уравнений, изученных ранее, а также системы уравнений второй степени.

В учебниках [4], [5], [6] перед введением уравнений с одной переменной изучаются сначала выражения и их преобразования. Понятие уравнения с одной переменной вводится через сюжетную задачу в 7-м классе. Далее дано определение корня уравнения: «Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство» [[4], 23с.]; на примерах показано, что количество корней может быть разным. Так же вводится понятие «решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет» [[4], 24с.] и равносильные уравнения. Далее рассматриваются линейные уравнения с одной переменной.

Отметим, что система задач включает однотипные упражнения на решение уравнений, почти все они обязательного уровня. Однако, пункт «Дополнительные упражнения» содержит разнообразные задачи повышенного уровня, а, в общем, весь курс алгебры 7-ого класса пронизан уравнениями различной степени сложности.

Отметим также, что в учебнике [4] курс алгебры 7-ого класса начинается и заканчивается темой уравнения. В конце учебного года в главе «Системы линейных уравнений» вводится определение линейного уравнения с двумя переменными и его решения. Система задач в данной главе включает упражнения различной степени сложности на решение уравнений и их систем различными способами.

В пункт «Задачи повышенной трудности» включены параметрические уравнения, уравнения с модулем, целочисленные уравнения, а также задачи на составление систем уравнений и их решение.

В учебнике [5] в главе «Квадратные корни» изучаются уравнения вида , позднее вводится определение квадратного уравнения, формула корней квадратного уравнения, теорема Виета. Система задач включает упражнения на решение квадратных, рациональных, дробно-рациональных и других видов уравнений различными методами, а также упражнения на решение задач с помощью системы уравнений. Отметим, что в учебнике [5] имеется глава «Дополнительные упражнения», в которую включен очень широкий класс задач различной степени сложности на решение уравнений.

В учебнике [6] уравнения изучаются в отдельной главе, в которую включены целые уравнения, биквадратные, иррациональные уравнения, системы уравнений с двумя переменными и системы уравнений второй степени, а также задачи на составление систем уравнений. Система задач, также как и в учебнике [5], включает упражнения различной степени сложности, в том числе, и задачи повышенной трудности.

В учебниках [13], [14], [15] заложено проблемное изложение материала, развивающее обучение и диалектический подход к введению математических понятий.

Понятие уравнение рассматривается в 7-м классе в качестве математической модели. Само решение уравнений, то есть нахождение корней, происходит посредствам применения формул сокращенного умножения, способа группировки, разложения на множители и прочее.

В учебнике [13] рассматривается линейное уравнение, причем, кроме определения понятия уравнения с одной переменной (аналогично определению, данному в учебниках [1], [2]), вводится определение понятия уравнения с двумя переменными и его решения, а также теорема о графике линейного уравнения. Итогом изучения уравнений в 7-м классе является рассмотрение темы «Графическое решение уравнений» и темы «Системы двух линейных уравнений с двумя переменными».

В учебнике [14] задачи на данную тему становятся сложнее: это решение рациональных и иррациональных уравнений, квадратных (полных, неполных, приведенных, неприведенных) и биквадратных уравнений, уравнений с параметрами и прочие, хотя методы решения уравнений аналогичны методам, данным в учебниках [36], [37], [38].

Отметим также, что данные, которые нужно запомнить, например, алгоритмы решения конкретного класса уравнений, выделены курсивом.

Система задач включает в себя разнообразные задачи – от примитивных задач до заданий повышенной трудности. Такое разнообразие заданий обеспечило наличие задачника к данному учебнику.

В курсе 9-ого класса учащиеся знакомятся с понятием рационального уравнения с двумя переменными и понятием решения такого уравнения, получают представление о равносильных преобразованиях. Исходя из этого, система задач содержит различные виды упражнений на решение рациональных уравнений с двумя неизвестными и их систем, а также упражнения на применение данных уравнений при решении текстовых задач.

Заметим, что в конце курса 9-ого класса учащиеся также решают простейшие тригонометрические уравнения.

В учебниках [9], [10], [39] определение понятия уравнения вводится на интуитивном уровне (через пример) в 6-м классе в главе рациональные числа. Определение понятия корня и решения уравнения аналогично определениям, данным другими авторами. Далее приведена примитивная система задач, где в основном присутствуют упражнения на решение по образцу и упражнения на составление уравнений при решении текстовых задач.

Далее, в учебнике [10] также на интуитивном уровне вводится определение понятия уравнения первой степени с одним неизвестным. Заметим, что в определении понятия решить уравнение не оговаривается тот факт, что корней может и не быть. Определение понятия линейного уравнения следующее: «Линейным уравнением с одним неизвестным называют уравнение, левая и правая части которого есть многочлены первой степени относительно х или числа». Кроме того, автор выделяет еще одно свойство, необходимое при решении уравнений, – приведение подобных членов, которое в учебниках других авторов является методом решения линейных уравнений. Далее учащиеся решают простейшие линейные уравнения с одним неизвестным, текстовые задачи на составление уравнений, системы линейных уравнений с двумя неизвестными и задачи на составление данных систем. Заметим, что автор включает в систему задач по теме «Уравнения» однородные диофантовы уравнения и предлагает более простой способ решения систем уравнений – метод Гаусса.