Использование законов и свойств арифметических действий при формировании вычислительных навыков

Пятая учебная ситуация – частичное свёртывание выполнения операций. Цель – научить детей выделять основные операции в каждом вычислительном приёме. Результатом является проговаривание детьми вслух лишь промежуточных результатов.

Шестая учебная ситуация. Цель – научить детей полному свёртыванию схемы, выполнению операций « в уме».

Дети самостоятельно выполняют задания, обмениваются тетра

дями, и проверяют работу друг у друга.

Четвёртый этап – формирование прочных навыков. Цель – создание условия для применения приёма в разнообразных ситуациях и доведение до автоматизма навыка выполнения действия.

Основным средством процесса формирования навыков становятся проверочные, самостоятельные и контрольные работы различного направления.

Седьмая учебная ситуация. Детям предлагается выполнить серию работ, цель которых – формирование адекватной оценки своего умения применять приём и коррекция работы. Отметки здесь не ставятся, а вводятся знаки «+» и «минус».

Самостоятельная работа проводится после нескольких проверочных работ. Цель самостоятельной работы – промежуточный контроль за окончательным результатом освоения приёма. Задания подбираются разного уровня сложности. Детям предлагается выбрать тот уровень, на котором они хотят и могут работать. По результатам обсуждения итогов такой работы учитель распределяет детей на группы в соответствии с их трудностями в освоении приёма.

1-я группа – дети, не освоившие схему-опору.

2-я группа состоит из детей, которые не могут работать по свёрнутой схеме.

3-я группа – дети, которые не могут выполнять творческие задания, перенос знаний в нестандартных условиях затруднён.

4-я группа детей освоила вычислительный приём.

Восьмая учебная ситуация. Задания дифференцируются по группам:

1-я группа – дети работают в парах, воспроизводится повторно учебная ситуация второго этапа (третья).

2-я группа – повторяются учебные ситуации третьего этапа (четвёртая и пятая).

3-я группа – происходит возвращение на третий и четвёртый этапы (шестая, а затем седьмая учебные ситуации).

4-я группа – выполняются задания творческого характера, применяя приём в разных ситуациях. Детей можно использовать и как помощников учителя.

Таким образом, процесс формирования вычислительных навыков влияет на процесс развития умственной деятельности ребёнка.

Итак, при формировании вычислительных навыков в традиционной системе рассматривается позиция: делай то, что тебе предлагают, чтобы научиться делать это быстро и правильно. Этот путь предполагает сообщение учащимся образца, алгоритма выполнения операций, на основании которого учащиеся многократно её выполняют. В результате такой репродуктивной деятельности достигается запоминание предложенного алгоритма и вырабатывается запланированный навык, при этом дети часто не осознают, на основе каких знаний выбраны операции и установлен порядок их выполнения.

В развивающей системе действует следующая позиция: делай для того, чтобы продвинуться в решении стоящей перед тобой математической проблемы или чтобы обнаружить такую проблему. Таким образом, используется косвенный путь формирования навыков, который предполагает включение учеников в продуктивную творческую деятельность, в самостоятельное установление алгоритма операции. В результате такого подхода к формированию вычислительных навыков дети приобретают прочные и осознанные навыки выполнения математических действий. Когда такая цель достигнута, необходимо перейти к наращиванию скорости выполнения вычислений.

Наиболее разработанной в плане управления процессом обучения является система обучения, основанная на теории поэтапного формирования умственных действий П.Я. Гальперина. Применение этой теории при изучении арифметических действий в начальной школе способствует формированию осознанных и прочных вычислительных навыков.

Теоретические основы законов и свойств арифметических действий

Подход к сложению целых неотрицательных чисел позволяет обосновать известные законы сложения: переместительный и сочетательный.

Докажем сначала переместительный закон, т. е. докажем что для любых целых неотрицательных чисел а и b выполняется равенство a + b= b + а.

Пусть а — число элементов в множестве А, Ь — число элементов в множестве В и А В=0. Тогда по определению суммы целых неотрицательных чисел а + b есть число элементов объединения множеств А и В: а + Ь = п (А//В). Но множество А В равно множеству В A согласно переместительному свойству объединения множеств, и, Значит, п(АU В) = п(В U А). По определению суммы п(ВиА) = Ь + а, поэтому a+b=b+a для любых целых неотрицательных чисел а и Ь.

Докажем теперь сочетательный закон, т. е. докажем что для любых целых неотрицательных чисел а, Ь, с выполняется равенство (a + b)+c = a + (b + c).

Пусть а = п(А), Ь = п(В), с = п(С), причем АUВ=0, ВUС=0 Тогда по определению суммы двух чисел можно записать (а+ Ь)+ с = п(А//)В) + п(С) = п((АUВUС).

Так как объединение множеств подчиняется сочетательному закону, то n((AUB)U C) = n(A U(BUC)). Откуда по определению суммы двух чисел имеем п (А \J(BUC))=n (А) + п (BU C) = a + (b + с). Следовательно, (а+ Ь)+ с — a+(b + с) для любых целых неотрицательных чисел a, b и с.

Каково назначение сочетательного закона сложения? Он объясняет, как можно находить сумму трех слагаемых: для этого достаточно сложить первое слагаемое со вторым и к полученному числу прибавить третье слагаемое или прибавить первое слагаемое к сумме второго и третьего. Заметим, что сочетательный закон не предполагает перестановки слагаемых.

И переместительный и сочетательный законы сложения могут быть обобщены на любое число слагаемых. При этом переместительный закон будет означать, что сумма не изменяется при любой перестановке слагаемых, а сочетательный — что сумма не изменяется при любой группировке слагаемых (без изменения их порядка).

Из переместительного и сочетательного законов сложения вытекает, что сумма нескольких слагаемых не изменится, если их переставить любым способом и если любую их группу заключить в скобки.

Вычислим, используя законы сложения, значение выражения 109 + 36+ 191 +64 + 27.

На основании переместительного закона переставим слагаемые 36 и 191. Тогда 109 + 36+191+64 + 27= 109+191+36 + 64 + 27.

Воспользуемся сочетательным законом, сгруппировав слагаемые, а затем найдем суммы в скобках: 109+ 191 +36 + 64 + 27 ==(109 + 191) + (36 + 64) + 27 = 300 + 100 + 27.

Применим еще раз сочетательный закон, заключив в скобки сумму чисел 300 и 100: 300+ 100 + 27 =(300+ 100) + 27.

Произведем вычисления: (300+ 100)+ 27 = 400+ 27 = 427.

С переместительным свойством сложения учащиеся начальных классов знакомятся при изучении чисел первого десятка. Сначала оно используется при составлении таблицы сложения однозначных чисел, а затем для рационализации различных вычислений.

Сочетательный закон сложения в начальном курсе математики в явном виде не изучается, но постоянно используется. Так, он является основой приема прибавления числа по частим: 3 + 2 = 3 + (1 + 1) = (3+ 1)+ 1 =4+ 1 =5. Кроме того, в тех случаях, когда надо прибавить число к сумме, сумму к числу, сумму к сумме, сочетательный закон используется в сочетании с переместительным. Например, прибавлять сумму 2+1 к числу 4 предлагается следующими способами: